Exercício 23. Mostre que, se \mathbf{E}=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) é uma base de V^{3}, então todo vetor de V^{3} admite representação única como combinação linear de \vec{e}_{1}, \vec{e}_{2} e \vec{e}_{3}.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e faz a seguinte pergunta:
  • Informação dada: \mathbf{E}=(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}) é uma base de V^{3}.
  • O que pede: mostrar que todo vetor de V^{3} admite representação única como combinação linear de \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado (essas são as propriedades que vêm com a palavra “base” e que vamos usar):
  • Por ser base, o conjunto \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\} gera V^{3}. Ou seja, todo vetor de V^{3} pode ser escrito como combinação linear desses vetores (existência).
  • Por ser base, o conjunto \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\} é linearmente independente. Ou seja, a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (unicidade de coeficientes quando apropriado).

Passo 2

Explicar claramente o que significa “combinação linear” e “gerar (span)”, para ficar tudo mastigadinho.
  • Definição de combinação linear: dizer que um vetor \vec{v} é combinação linear de \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3} significa que existem escalares a_{1},a_{2},a_{3} tais que
\vec{v}=a_{1}\vec{e}_{1}+a_{2}\vec{e}_{2}+a_{3}\vec{e}_{3}.
Aqui cada a_{i} é um número (escalares no mesmo corpo do espaço vetorial, por exemplo \mathbb{R}), e a soma e multiplicação por escalar são as operações do espaço vetorial.
  • Definição de “gerar” (span): dizer que \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\} gera V^{3} significa exatamente que para todo \vec{v}\in V^{3} existe uma combinação linear como acima que produz \vec{v}.
Agora a parte de existência fica imediata: como \mathbf{E} é uma base, por definição ela gera V^{3}. Portanto, para qualquer vetor \vec{v}\in V^{3} existem escalares a_{1},a_{2},a_{3} tais que
\vec{v}=a_{1}\vec{e}_{1}+a_{2}\vec{e}_{2}+a_{3}\vec{e}_{3}.
Isso prova a existência de pelo menos uma representação linear para cada vetor.

Passo 3

Explicar o que significa “linearmente independente” e como isso leva à unicidade dos coeficientes.
  • Definição de independência linear: o conjunto \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\} é linearmente independente se a única solução do sistema
c_{1}\vec{e}_{1}+c_{2}\vec{e}_{2}+c_{3}\vec{e}_{3}=\vec{0}
é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Ou seja, não existe combinação não trivial que dê o vetor zero.
Para provar unicidade, faço o argumento clássico e direto (passo a passo, sem pular nada):
  • Suponha que um vetor \vec{v}\in V^{3} admita duas representações em termos de \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}; isto é, existam escalares a_{1},a_{2},a_{3} e b_{1},b_{2},b_{3} tais que
\vec{v}=a_{1}\vec{e}_{1}+a_{2}\vec{e}_{2}+a_{3}\vec{e}_{3} \quad\text{e}\quad \vec{v}=b_{1}\vec{e}_{1}+b_{2}\vec{e}_{2}+b_{3}\vec{e}_{3}.
  • Subtraindo a segunda igualdade da primeira (isso é permitido porque o espaço vetorial tem a operação de subtração), obtemos
\vec{0}=(a_{1}-b_{1})\vec{e}_{1}+(a_{2}-b_{2})\vec{e}_{2}+(a_{3}-b_{3})\vec{e}_{3}.
  • Agora aplicamos a propriedade de independência linear: a única combinação linear que dá \vec{0} é a combinação trivial. Logo
a_{1}-b_{1}=0,\qquad a_{2}-b_{2}=0,\qquad a_{3}-b_{3}=0.
  • Isso implica
a_{1}=b_{1},\qquad a_{2}=b_{2},\qquad a_{3}=b_{3}.
Ou seja, as duas representações têm exatamente os mesmos coeficientes — não existe uma representação diferente com coeficientes distintos. Isso prova a unicidade.

Passo 4

Um exemplo concreto e rápido para fixar a ideia (é só para ver na prática; o argumento geral acima já vale para qualquer base).
  • Considere a base canônica do \mathbb{R}^{3}, que é um caso particular de base: \vec{e}_{1}=(1,0,0), \vec{e}_{2}=(0,1,0), \vec{e}_{3}=(0,0,1). Tome o vetor \vec{v}=(2,-1,3).
  • Uma escrita é
\vec{v}=2\vec{e}_{1}+(-1)\vec{e}_{2}+3\vec{e}_{3}.
  • Se alguém sugerisse outra escrita \vec{v}=a_{1}\vec{e}_{1}+a_{2}\vec{e}_{2}+a_{3}\vec{e}_{3}, subtraindo as duas escritas daria
\vec{0}=(2-a_{1})\vec{e}_{1}+(-1-a_{2})\vec{e}_{2}+(3-a_{3})\vec{e}_{3}.
Como a base canônica é linearmente independente, cada coeficiente deve ser zero, logo a_{1}=2, a_{2}=-1, a_{3}=3. Ou seja, não há outra escolha de coeficientes — a representação é única. Esse exemplo ilustra exatamente o raciocínio geral.

Passo 5

Resumo do raciocínio e motivação intuitiva (para você levar pra prova sem medo):
  • Existência vem do fato de que uma base gera o espaço: por definição, qualquer vetor do espaço é combinação linear dos vetores da base.
  • Unicidade vem do fato de que os vetores da base são linearmente independentes: se houvesse duas escritas, a diferença delas forneceria uma combinação linear não trivial igual a zero, o que é proibido pela independência. Portanto os coeficientes devem ser os mesmos.

Resposta

Todo vetor \vec{v}\in V^{3} pode ser escrito como \vec{v}=a_{1}\vec{e}_{1}+a_{2}\vec{e}_{2}+a_{3}\vec{e}_{3} para alguns escalares a_{1},a_{2},a_{3}, e essa representação é única (os coeficientes a_{1},a_{2},a_{3} são determinados unicamente).

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