Exercício 23. Mostre que, se
é uma base de
, então todo vetor de
admite representação única como combinação linear de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e faz a seguinte pergunta:
- Informação dada:
é uma base de . - O que pede: mostrar que todo vetor de
admite representação única como combinação linear de .
Informações relevantes extraídas do enunciado (essas são as propriedades que vêm com a palavra “base” e que vamos usar):
- Por ser base, o conjunto
gera . Ou seja, todo vetor de pode ser escrito como combinação linear desses vetores (existência). - Por ser base, o conjunto
é linearmente independente. Ou seja, a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (unicidade de coeficientes quando apropriado).
Passo 2
Explicar claramente o que significa “combinação linear” e “gerar (span)”, para ficar tudo mastigadinho.
- Definição de combinação linear: dizer que um vetor
é combinação linear de significa que existem escalares tais que
Aqui cada
é um número (escalares no mesmo corpo do espaço vetorial, por exemplo
), e a soma e multiplicação por escalar são as operações do espaço vetorial.
- Definição de “gerar” (span): dizer que
gera significa exatamente que para todo existe uma combinação linear como acima que produz .
Agora a parte de existência fica imediata: como
é uma base, por definição ela gera
. Portanto, para qualquer vetor
existem escalares
tais que
Isso prova a existência de pelo menos uma representação linear para cada vetor.
Passo 3
Explicar o que significa “linearmente independente” e como isso leva à unicidade dos coeficientes.
- Definição de independência linear: o conjunto
é linearmente independente se a única solução do sistema
é
. Ou seja, não existe combinação não trivial que dê o vetor zero.
Para provar unicidade, faço o argumento clássico e direto (passo a passo, sem pular nada):
- Suponha que um vetor
admita duas representações em termos de ; isto é, existam escalares e tais que
- Subtraindo a segunda igualdade da primeira (isso é permitido porque o espaço vetorial tem a operação de subtração), obtemos
- Agora aplicamos a propriedade de independência linear: a única combinação linear que dá
é a combinação trivial. Logo
- Isso implica
Ou seja, as duas representações têm exatamente os mesmos coeficientes — não existe uma representação diferente com coeficientes distintos. Isso prova a unicidade.
Passo 4
Um exemplo concreto e rápido para fixar a ideia (é só para ver na prática; o argumento geral acima já vale para qualquer base).
- Considere a base canônica do
, que é um caso particular de base: , , . Tome o vetor . - Uma escrita é
- Se alguém sugerisse outra escrita
, subtraindo as duas escritas daria
Como a base canônica é linearmente independente, cada coeficiente deve ser zero, logo
,
,
. Ou seja, não há outra escolha de coeficientes — a representação é única. Esse exemplo ilustra exatamente o raciocínio geral.
Passo 5
Resumo do raciocínio e motivação intuitiva (para você levar pra prova sem medo):
- Existência vem do fato de que uma base gera o espaço: por definição, qualquer vetor do espaço é combinação linear dos vetores da base.
- Unicidade vem do fato de que os vetores da base são linearmente independentes: se houvesse duas escritas, a diferença delas forneceria uma combinação linear não trivial igual a zero, o que é proibido pela independência. Portanto os coeficientes devem ser os mesmos.
Resposta
Todo vetor
pode ser escrito como
para alguns escalares
, e essa representação é única (os coeficientes
são determinados unicamente).