Exercício 22. Seja \mathbf{E}=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) uma base de V^{3}. Considere os vetores \vec{u}=2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{v}=5 \vec{e}_{1}+5 \vec{e}_{2}-2 \vec{e}_{3} e \vec{w}=3 \vec{e}_{1}+6 \vec{e}_{2}.
(a) Verifique se os vetores são L.D. em cada dos seguintes itens. Justifique cada resposta diretamente a partir da definição de dependência linear.
(i) \vec{u}
(ii) \vec{u}, \overrightarrow{0}
(iii) \vec{u},(4,-2,4)_{E}
(iv) \vec{u}, \vec{v},(1,2,3)_{E},(2,1,4)_{E}
(b) Determine as coordenadas de \vec{u}-\vec{v}+3 \vec{w} na base E.
(c) Escreva se possível:
(i) \vec{u} como combinação linear de \vec{a}=(4,-2,4)_{E}.
(ii) \overrightarrow{0} como combinação de \vec{u}.
(iii) \vec{u} como combinação de \vec{u}.
(iv) \vec{v} como combinação de \vec{u}.
(v) \vec{u} como combinação de \vec{v} e \vec{a}.
(vi) \vec{v} como combinação de \vec{u} e \vec{w}.
Passo 1
O enunciado dá a base \mathbf{E}=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3) e os vetores, todos expressos nas coordenadas da base \mathbf{E}:
\vec{u}=2\vec{e}_1-\vec{e}_2+2\vec{e}_3, ou seja \vec{u}=(2,-1,2)_{E}.
\vec{v}=5\vec{e}_1+5\vec{e}_2-2\vec{e}_3, ou seja \vec{v}=(5,5,-2)_{E}.
\vec{w}=3\vec{e}_1+6\vec{e}_2, ou seja \vec{w}=(3,6,0)_{E}.
\vec{a}=(4,-2,4)_{E} aparece no enunciado.
As perguntas:
(a) Verificar se os vetores são linearmente dependentes (L.D.) nos casos:
(i) \vec{u};
(ii) \vec{u},\overrightarrow{0};
(iii) \vec{u},(4,-2,4)_{E};
(iv) \vec{u},\vec{v},(1,2,3)_{E},(2,1,4)_{E}.
(b) Determinar as coordenadas de \vec{u}-\vec{v}+3\vec{w} na base E.
(c) Escrever, quando possível, combinações lineares solicitadas:
(i) \vec{u} como combinação de \vec{a};
(ii) \overrightarrow{0} como combinação de \vec{u};
(iii) \vec{u} como combinação de \vec{u};
(iv) \vec{v} como combinação de \vec{u};
(v) \vec{u} como combinação de \vec{v} e \vec{a};
(vi) \vec{v} como combinação de \vec{u} e \vec{w}.
Passo 2
Definição útil (vou usar na verificação): um conjunto de vetores \{\vec{x}_1,\dots,\vec{x}_k\} é linearmente dependente se existem escalares \lambda_1,\dots,\lambda_k, nem todos zero, tais que
Se a única solução para essa equação é \lambda_1=\cdots=\lambda_k=0, o conjunto é linearmente independente. Vou usar essa definição diretamente em cada item, construindo (quando necessário) coeficientes não todos nulos que zeram a combinação.
Passo 3
(a)(i) Conjunto com um só vetor \{\vec{u}\}. Procuro \lambda tal que \lambda\vec{u}=\overrightarrow{0}. Em coordenadas:
\lambda(2,-1,2)_{E}=(0,0,0)_{E}.
Isso dá as equações 2\lambda=0, -\lambda=0, 2\lambda=0. Todas implicam \lambda=0. Portanto a única solução é trivial, logo \{\vec{u}\} é linearmente independente (L.I.). Conclusão: \vec{u} não é L.D.
Passo 4
(a)(ii) Conjunto \{\vec{u},\overrightarrow{0}\}. Pela definição, basta encontrar escalares não todos nulos com combinação zero. Tomemos \lambda_1=0 para \vec{u} e \lambda_2=1 para \overrightarrow{0}. Então
e \lambda_2=1\neq0. Assim existe combinação não trivial que dá zero, logo o conjunto é linearmente dependente (L.D.). Conclusão: \vec{u},\overrightarrow{0} é L.D.
Passo 5
(a)(iii) Conjunto \{\vec{u},\vec{a}\} com \vec{a}=(4,-2,4)_{E}. Observe que
2\vec{u}=2(2,-1,2)_{E}=(4,-2,4)_{E}=\vec{a}.
Logo 2\vec{u}-1\cdot\vec{a}=\overrightarrow{0} e os coeficientes (2,-1) não são ambos zero. Pela definição, isso basta para afirmar que \{\vec{u},\vec{a}\} é L.D. Conclusão: \vec{u},(4,-2,4)_{E} é L.D.
Passo 6
(a)(iv) Conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{b},\vec{c}\}\) com \(\vec{b}=(1,2,3)_{E}\) e \(\vec{c}=(2,1,4)_{E}\).
Quero exhibir escalares \(x_1,x_2,x_3,x_4\), nem todos zero, tais que
\[x_1\vec{u}+x_2\vec{v}+x_3\vec{b}+x_4\vec{c}=\overrightarrow{0}.
São 3 equações lineares em 4 incógnitas, então existe solução não trivial. Para construir uma solução explícita, faço parametrização: deixe x_3=s e x_4=t livres. Das duas primeiras equações resolvo x_1,x_2 em função de s,t.
Verificando, (x_1,x_2,x_3,x_4)=(41,-2,58,-65) não é o vetor nulo e satisfaz as três equações, logo dá uma combinação não trivial que zera a soma. Assim o conjunto é L.D. Conclusão: \vec{u},\vec{v},(1,2,3)_{E},(2,1,4)_{E} é L.D.
Passo 7
(b) Calcular \vec{u}-\vec{v}+3\vec{w} em coordenadas. Usando as coordenadas já anotadas:
Portanto as coordenadas na base E são (6,12,4)_{E}.
Passo 8
(c)(i) Escrever \vec{u} como combinação de \vec{a}=(4,-2,4)_{E}. Como vimos em (a)(iii), \vec{a}=2\vec{u}. Assim multiplicando por 1/2 obtém-se
\vec{u}=\tfrac{1}{2}\vec{a}.
Resposta: possível, \vec{u}=\tfrac{1}{2}\vec{a}.
Passo 9
(c)(ii) Escrever \overrightarrow{0} como combinação de \vec{u}. Sempre é possível usar o escalar zero:
\overrightarrow{0}=0\cdot\vec{u}.
Resposta: possível, \overrightarrow{0}=0\vec{u}.
Passo 10
(c)(iii) Escrever \vec{u} como combinação de \vec{u}. Trivialmente,
\vec{u}=1\cdot\vec{u}.
Resposta: possível, \vec{u}=1\vec{u}.
Passo 11
(c)(iv) Escrever \vec{v} como combinação de \vec{u} (isto é, procurar \lambda tal que \vec{v}=\lambda\vec{u}). Em coordenadas:
(5,5,-2)=\lambda(2,-1,2).
Da primeira componente 2\lambda=5\Rightarrow\lambda=\tfrac{5}{2}. Pela segunda, -\lambda=5\Rightarrow\lambda=-5. Esses dois valores são conflitantes, logo não existe \lambda que satisfaça todas as componentes. Portanto não é possível escrever \vec{v} como múltiplo (combinação) de \vec{u}. Resposta: impossível.
Passo 12
(c)(v) Escrever \vec{u} como combinação de \vec{v} e \vec{a}. Queremos \vec{u}=\alpha\vec{v}+\beta\vec{a}. Mas já sabemos que \vec{a}=2\vec{u}. Uma escolha muito simples é tomar \alpha=0 e \beta=\tfrac{1}{2}, pois
Há contradição, portanto não existem \alpha,\beta que satisfaçam as três componentes simultaneamente. Assim é impossível escrever \vec{v} como combinação de \vec{u} e \vec{w}.
Resposta
(a)(i) \vec{u} é linearmente independente.
(a)(ii) \vec{u},\overrightarrow{0} é linearmente dependente.
(a)(iii) \vec{u},(4,-2,4)_{E} é linearmente dependente.
(a)(iv) \vec{u},\vec{v},(1,2,3)_{E},(2,1,4)_{E} é linearmente dependente.
(b) (6,12,4)_{E}.
(c)(i) \vec{u}=\tfrac{1}{2}\vec{a}.
(c)(ii) \overrightarrow{0}=0\cdot\vec{u}.
(c)(iii) \vec{u}=1\cdot\vec{u}.
(c)(iv) Impossível (não existe escalar \lambda com \vec{v}=\lambda\vec{u}).
(c)(v) \vec{u}=0\cdot\vec{v}+\tfrac{1}{2}\vec{a} (portanto possível).
(c)(vi) Impossível (não existem \alpha,\beta com \vec{v}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{w}).