Exercício 29: Para cada uma das expressões abaixo, verifique se são função de probabilidade. Caso não sejam, indique se uma multiplicação por alguma constante poderia torná-las função de probabilidade.
p(x)=\frac{x-1}{2^{x}}, \quad x=2,3, \ldots

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
p(x)=\frac{x-1}{2^{x}},\quad x=2,3,\ldots
é uma função de probabilidade.
Informações dadas: a fórmula de p(x) válida para todos os inteiros x\ge 2.
Perguntas implícitas que precisamos responder:
  1. p(x) é não negativa para todo x do domínio?
  2. A soma \sum_{x=2}^{\infty} p(x) é igual a 1?
    Se as duas respostas forem “sim”, então p(x) é uma função de probabilidade; se alguma for “não”, verificar se existe uma constante multiplicativa que normalize a soma para 1.

Passo 2

Verificação da não negatividade. Vou analisar o sinal de p(x) para x=2,3,\ldots.
Para x\ge 2 temos x-1\ge 1 (pois 2-1=1) e 2^{x}>0. Portanto cada termo
p(x)=\frac{x-1}{2^{x}}
é positivo. Conclusão: p(x)\ge 0 para todo x=2,3,\ldots.

Passo 3

Agora precisamos calcular a soma infinita
S=\sum_{x=2}^{\infty}\frac{x-1}{2^{x}}.
Para isso vou usar uma soma conhecida (e ensinar como obtê-la): a série geométrica e sua derivada.
Começo com a série geométrica básica. Para |r|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Se diferenciarmos ambos os lados em relação a r (isso é uma técnica padrão para obter séries com fator n), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r chega-se a
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Isto é uma fórmula útil: soma de n r^{n} para n\ge 1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do Passo 3 com r=\tfrac{1}{2} (que satisfaz |r|<1), temos
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}}=2.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}=2.

Passo 5

Volto à soma que precisamos calcular:
S=\sum_{x=2}^{\infty}\frac{x-1}{2^{x}}.
Faço a mudança de índice k=x-1. Quando x=2 temos k=1; quando x\to\infty temos k\to\infty. Além disso 2^{x}=2^{k+1}=2\cdot 2^{k}. Assim
S=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^{k}}.
Usando o resultado do Passo 4, \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{2^{k}}=2, obtemos
S=\frac{1}{2}\cdot 2 = 1.

Passo 6

Resumo das verificações: os termos são não negativos (Passo 2) e a soma dos termos sobre todo o domínio é 1 (Passo 5). Essas duas condições são exatamente as que definem uma função de probabilidade discreta (função massa de probabilidade).

Resposta

Sim. p(x)=\dfrac{x-1}{2^{x}} para x=2,3,\ldots é uma função de probabilidade.

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