Exercício 29: Para cada uma das expressões abaixo, verifique se são função de probabilidade. Caso não sejam, indique se uma multiplicação por alguma constante poderia torná-las função de probabilidade.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
é uma função de probabilidade.
Informações dadas: a fórmula de válida para todos os inteiros
.
Perguntas implícitas que precisamos responder:
Informações dadas: a fórmula de
Perguntas implícitas que precisamos responder:
-
é não negativa para todo do domínio? - A soma
é igual a ?
Se as duas respostas forem “sim”, entãoé uma função de probabilidade; se alguma for “não”, verificar se existe uma constante multiplicativa que normalize a soma para .
Passo 2
Verificação da não negatividade. Vou analisar o sinal de
para
.
Para temos
(pois
) e
. Portanto cada termo
Para
é positivo. Conclusão:
para todo
.
Passo 3
Agora precisamos calcular a soma infinita
Para isso vou usar uma soma conhecida (e ensinar como obtê-la): a série geométrica e sua derivada.
Começo com a série geométrica básica. Para
vale
Se diferenciarmos ambos os lados em relação a
(isso é uma técnica padrão para obter séries com fator
), obtemos
Multiplicando ambos os lados por
chega-se a
Isto é uma fórmula útil: soma de
para
.
Passo 4
Aplicando a fórmula do Passo 3 com
(que satisfaz
), temos
Portanto
Passo 5
Volto à soma que precisamos calcular:
Faço a mudança de índice
. Quando
temos
; quando
temos
. Além disso
. Assim
Usando o resultado do Passo 4,
, obtemos
Passo 6
Resumo das verificações: os termos são não negativos (Passo 2) e a soma dos termos sobre todo o domínio é
(Passo 5). Essas duas condições são exatamente as que definem uma função de probabilidade discreta (função massa de probabilidade).
Resposta
Sim.
para
é uma função de probabilidade.