Exercício 31: Considere o seguinte jogo. Um indivíduo aposta em um dos números de 1 a 6. Três dados honestos são então lançados, de maneira independente, e, se o número apostado aparecer
vezes,
, o apostador ganha
reais; caso o número apostado não apareça em nenhum dos dados, o apostador perde 1 real. Seja
o ganho do apostador no jogo. Determine a função de probabilidade de
, e, com base na esperança de
, julgue se o jogo é honesto ou não para o apostador.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Informações: um indivíduo aposta num número entre 1 e 6; em seguida são lançados três dados honestos e independentes. Se o número apostado aparece
vezes ( ) o apostador ganha reais; se o número não aparece em nenhum dado, o apostador perde real. Seja o ganho do apostador no jogo. - Perguntas: determinar a função de probabilidade de
(ou seja, as probabilidades de cada valor que pode assumir) e, com base na esperança de , julgar se o jogo é honesto para o apostador.
Passo 2
Vamos identificar os possíveis valores de
e uma variável auxiliar útil.
- Se o número aparece
vezes, então . - Se aparece
vez, . - Se aparece
vezes, . - Se aparece
vezes, .
Definimos= número de vezes que o número apostado aparece nos três dados. Cada lançamento é um “sucesso” com probabilidade (sair o número apostado) e “fracasso” com probabilidade . Como os lançamentos são independentes e há tentativas, segue a distribuição binomial com parâmetros e . A fórmula da binomial é:
onde
é o número de maneiras de escolher em quais dados ocorrem as
aparições.
Passo 3
Calculemos
para cada
. Aqui
e
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Verificação rápida:
, ok.
Passo 4
Agora relacionamos
com
:
quando
, e
quando
para
. Logo a função de probabilidade de
é:
Passo 5
Vamos calcular a esperança
. Podemos usar a soma direta ou um atalho: escrevendo
em função de
, para
temos
e para
temos
. Assim
Outro atalho elegante é notar que
(pois o termo
contribui zero para
). Portanto
Passo 6
Calculemos
e
. Para a binomial
vale
. Já
(calculado no Passo 3). Então
Em decimal isso é aproximadamente
. Ou seja, em média o apostador perde cerca de
reais por jogada.
Passo 7
Conclusão sobre honestidade: como
, o jogo não é honesto para o apostador — é desfavorável a ele. A vantagem média da banca por jogada é
reais.