Exercício 31: Considere o seguinte jogo. Um indivíduo aposta em um dos números de 1 a 6. Três dados honestos são então lançados, de maneira independente, e, se o número apostado aparecer i vezes, i=1,2,3, o apostador ganha i reais; caso o número apostado não apareça em nenhum dos dados, o apostador perde 1 real. Seja X o ganho do apostador no jogo. Determine a função de probabilidade de X, e, com base na esperança de X, julgue se o jogo é honesto ou não para o apostador.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informações: um indivíduo aposta num número entre 1 e 6; em seguida são lançados três dados honestos e independentes. Se o número apostado aparece i vezes ( i=1,2,3) o apostador ganha i reais; se o número não aparece em nenhum dado, o apostador perde 1 real. Seja X o ganho do apostador no jogo.
  • Perguntas: determinar a função de probabilidade de X (ou seja, as probabilidades de cada valor que X pode assumir) e, com base na esperança de X, julgar se o jogo é honesto para o apostador.

Passo 2

Vamos identificar os possíveis valores de X e uma variável auxiliar útil.
  • Se o número aparece 0 vezes, então X=-1.
  • Se aparece 1 vez, X=1.
  • Se aparece 2 vezes, X=2.
  • Se aparece 3 vezes, X=3.
    Definimos N = número de vezes que o número apostado aparece nos três dados. Cada lançamento é um “sucesso” com probabilidade p=\tfrac{1}{6} (sair o número apostado) e “fracasso” com probabilidade q=\tfrac{5}{6}. Como os lançamentos são independentes e há 3 tentativas, N segue a distribuição binomial com parâmetros n=3 e p=\tfrac{1}{6}. A fórmula da binomial é:
P(N=i)=\binom{3}{i}p^{i}q^{3-i},\qquad i=0,1,2,3,
onde \binom{3}{i} é o número de maneiras de escolher em quais dados ocorrem as i aparições.

Passo 3

Calculemos P(N=i) para cada i. Aqui p=\tfrac{1}{6} e q=\tfrac{5}{6}.
Para i=0:
P(N=0)=\binom{3}{0}\left(\tfrac{1}{6}\right)^{0}\left(\tfrac{5}{6}\right)^{3}=\left(\tfrac{5}{6}\right)^{3}=\tfrac{125}{216}.
Para i=1:
P(N=1)=\binom{3}{1}\left(\tfrac{1}{6}\right)^{1}\left(\tfrac{5}{6}\right)^{2}=3\cdot\tfrac{1}{6}\cdot\left(\tfrac{25}{36}\right)=\tfrac{75}{216}.
Para i=2:
P(N=2)=\binom{3}{2}\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2}\left(\tfrac{5}{6}\right)^{1}=3\cdot\tfrac{1}{36}\cdot\tfrac{5}{6}=\tfrac{15}{216}.
Para i=3:
P(N=3)=\binom{3}{3}\left(\tfrac{1}{6}\right)^{3}\left(\tfrac{5}{6}\right)^{0}=\left(\tfrac{1}{6}\right)^{3}=\tfrac{1}{216}.
Verificação rápida: \tfrac{125+75+15+1}{216}=\tfrac{216}{216}=1, ok.

Passo 4

Agora relacionamos N com X: X=-1 quando N=0, e X=i quando N=i para i=1,2,3. Logo a função de probabilidade de X é:
P(X=-1)=P(N=0)=\tfrac{125}{216},
P(X=1)=P(N=1)=\tfrac{75}{216},
P(X=2)=P(N=2)=\tfrac{15}{216},
P(X=3)=P(N=3)=\tfrac{1}{216}.

Passo 5

Vamos calcular a esperança E[X]. Podemos usar a soma direta ou um atalho: escrevendo X em função de N, para N\ge1 temos X=N e para N=0 temos X=-1. Assim
E[X]=\sum_{i=0}^{3} x_i P(X=x_i)=\sum_{i=1}^{3} i\;P(N=i)+(-1)\;P(N=0).
Outro atalho elegante é notar que \sum_{i=1}^{3} i\;P(N=i)=E[N] (pois o termo i=0 contribui zero para E[N]). Portanto
E[X]=E[N]-P(N=0).

Passo 6

Calculemos E[N] e P(N=0). Para a binomial N\sim\text{Binomial}(3,\tfrac{1}{6}) vale E[N]=np=3\cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}. Já P(N=0)=\tfrac{125}{216} (calculado no Passo 3). Então
E[X]=\tfrac{1}{2}-\tfrac{125}{216}=\tfrac{216}{432}-\tfrac{250}{432}=-\tfrac{34}{432}=-\tfrac{17}{216}.
Em decimal isso é aproximadamente -0,0787037. Ou seja, em média o apostador perde cerca de 0,0787 reais por jogada.

Passo 7

Conclusão sobre honestidade: como E[X]=- \tfrac{17}{216}<0, o jogo não é honesto para o apostador — é desfavorável a ele. A vantagem média da banca por jogada é \tfrac{17}{216} reais.

Resposta

P(X=-1)=\tfrac{125}{216},\quad P(X=1)=\tfrac{75}{216},\quad P(X=2)=\tfrac{15}{216},\quad P(X=3)=\tfrac{1}{216}.
E[X]=-\tfrac{17}{216} (aprox. -0,0787), portanto o jogo não é honesto para o apostador.

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