Exercício 29. Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - O objetivo é obter uma primitiva (ou família de primitivas) desta função, isto é, encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Escolha de mudança de variável (substituição): quando vemos uma função composta com
no denominador e
no numerador, uma boa ideia é fazer a substituição
Por que isso ajuda? Porque a derivada de
em relação a
é
. Escrevendo isso:
Agora substituímos na integral original: o fator
vira
e
vira
. Assim
Passo 3
Integração usando a regra da potência: para qualquer
vale
Aqui temos
e
. Aplicando a fórmula (note que
, então a fórmula é válida):
Voltando ao sinal negativo que tínhamos:
Passo 4
Voltar à variável
: lembrando que
, substituímos de volta para obter a primitiva em
:
Passo 5
Verificação rápida (diferenciação): para confirmar que a resposta está correta, derivamos
Usando a regra da cadeia: primeiro escrevemos
. A derivada é
Simplificando os fatores
, obtemos
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.