Exercício 29. Calcule
\int \frac{\operatorname{sen} x}{(1+\cos x)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sen} x}{(1+\cos x)^{3}}\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é \dfrac{\operatorname{sen} x}{(1+\cos x)^{3}}.
  • O objetivo é obter uma primitiva (ou família de primitivas) desta função, isto é, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{(1+\cos x)^{3}}.

Passo 2

Escolha de mudança de variável (substituição): quando vemos uma função composta com \cos x no denominador e \operatorname{sen} x no numerador, uma boa ideia é fazer a substituição
u=\cos x.
Por que isso ajuda? Porque a derivada de \cos x em relação a x é -\operatorname{sen} x. Escrevendo isso:
du = -\operatorname{sen} x\,dx \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen} x\,dx = -du.
Agora substituímos na integral original: o fator (1+\cos x) vira (1+u) e \operatorname{sen} x\,dx vira -du. Assim
\int \frac{\operatorname{sen} x}{(1+\cos x)^{3}}\,dx = \int \frac{-du}{(1+u)^{3}} = -\int (1+u)^{-3}\,du.

Passo 3

Integração usando a regra da potência: para qualquer t\neq -1 vale
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui temos t=1+u e n=-3. Aplicando a fórmula (note que n\neq -1, então a fórmula é válida):
\int (1+u)^{-3}\,du = \frac{(1+u)^{-2}}{-2}+C.
Voltando ao sinal negativo que tínhamos:
-\int (1+u)^{-3}\,du = -\left(\frac{(1+u)^{-2}}{-2}\right)+C = \frac{(1+u)^{-2}}{2}+C.

Passo 4

Voltar à variável x: lembrando que u=\cos x, substituímos de volta para obter a primitiva em x:
\frac{(1+u)^{-2}}{2}+C = \frac{1}{2(1+u)^{2}}+C = \frac{1}{2(1+\cos x)^{2}}+C.

Passo 5

Verificação rápida (diferenciação): para confirmar que a resposta está correta, derivamos
F(x)=\frac{1}{2(1+\cos x)^{2}}.
Usando a regra da cadeia: primeiro escrevemos F(x)=\tfrac{1}{2}(1+\cos x)^{-2}. A derivada é
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot(-2)(1+\cos x)^{-3}\cdot(-\operatorname{sen} x).
Simplificando os fatores \tfrac{1}{2}\cdot(-2)\cdot(-1)=1, obtemos
F'(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{(1+\cos x)^{3}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2(1+\cos x)^{2}}+C

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