Exercício 29. Calcule
Passo 1
O que o exercício pede e quais informações temos:
- Pede calcular a integral definida
. - Dados úteis que conhecemos (valores trigonométricos simples e exponencial em zero):
-
. -
. -
.
-
- Vamos precisar de uma primitiva de
para avaliar a integral nos limites e .
Passo 2
Apresentando a técnica que vamos usar (integração por partes) e por que ela funciona:
- Fórmula de integração por partes: para funções
e ,
onde
é uma primitiva de
e
é a derivada de
.
- Intuição: escolhe-se
para que sua derivada seja mais simples, e para que sua primitiva seja fácil. No caso de produtos envolvendo e funções trigonométricas, essa técnica é padrão porque ao aplicar duas vezes obtemos uma equação algébrica para a primitiva. - Vamos primeiro trabalhar a primitiva indefinida
Escolha prática:
- Tome
(pois sua derivada é , simples). - Tome
(cuja primitiva é ).
Aplicando a fórmula:
Passo 3
Calcular a integral restante por outra integração por partes:
- Defina
Aplicando integração por partes em
:
- Escolha
, então . - Tome
, então .
Pela fórmula:
Isso simplifica para
Reconhecendo que
, obtemos
Passo 4
Voltar à expressão para
e resolver a equação resultante:
- Lembrando do Passo 2, temos
Substituindo
do Passo 3:
Desenvolvendo:
Somando
em ambos os lados:
Logo a primitiva geral é
onde
é constante de integração.
Passo 5
Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada:
- Temos
Compute o valor em
:
Compute o valor em
(usando
,
,
):
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Portanto