Exercício 29. Calcule
\int_{0}^{1} \operatorname{sen} v e^{v} d v

Passo 1

O que o exercício pede e quais informações temos:
  • Pede calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} \operatorname{sen} v\, e^{v}\, dv.
  • Dados úteis que conhecemos (valores trigonométricos simples e exponencial em zero):
    • \operatorname{sen}0=0.
    • \cos 0=1.
    • e^{0}=1.
  • Vamos precisar de uma primitiva de e^{v}\operatorname{sen}v para avaliar a integral nos limites 0 e 1.

Passo 2

Apresentando a técnica que vamos usar (integração por partes) e por que ela funciona:
  • Fórmula de integração por partes: para funções u(v) e w'(v),
\int u(v)\,w'(v)\,dv = u(v)\,w(v) - \int w(v)\,u'(v)\,dv,
onde w(v) é uma primitiva de w'(v) e u'(v) é a derivada de u(v).
  • Intuição: escolhe-se u para que sua derivada seja mais simples, e w' para que sua primitiva seja fácil. No caso de produtos envolvendo e^{v} e funções trigonométricas, essa técnica é padrão porque ao aplicar duas vezes obtemos uma equação algébrica para a primitiva.
  • Vamos primeiro trabalhar a primitiva indefinida
I(v)=\int e^{v}\operatorname{sen}v\,dv.
Escolha prática:
  • Tome u(v)=\operatorname{sen}v (pois sua derivada é \cos v, simples).
  • Tome w'(v)=e^{v} (cuja primitiva é w(v)=e^{v}).
    Aplicando a fórmula:
I(v)=\operatorname{sen}v\cdot e^{v} - \int e^{v}\cos v\,dv.

Passo 3

Calcular a integral restante por outra integração por partes:
  • Defina
J(v)=\int e^{v}\cos v\,dv.
Aplicando integração por partes em J(v):
  • Escolha u(v)=\cos v, então u'(v)=-\operatorname{sen}v.
  • Tome w'(v)=e^{v}, então w(v)=e^{v}.
    Pela fórmula:
J(v)=\cos v\cdot e^{v} - \int e^{v}\bigl(-\operatorname{sen}v\bigr)\,dv.
Isso simplifica para
J(v)=e^{v}\cos v + \int e^{v}\operatorname{sen}v\,dv.
Reconhecendo que \displaystyle \int e^{v}\operatorname{sen}v\,dv = I(v), obtemos
J(v)=e^{v}\cos v + I(v).

Passo 4

Voltar à expressão para I(v) e resolver a equação resultante:
  • Lembrando do Passo 2, temos
I(v)=e^{v}\operatorname{sen}v - J(v).
Substituindo J(v) do Passo 3:
I(v)=e^{v}\operatorname{sen}v - \bigl(e^{v}\cos v + I(v)\bigr).
Desenvolvendo:
I(v)=e^{v}\operatorname{sen}v - e^{v}\cos v - I(v).
Somando I(v) em ambos os lados:
2I(v)=e^{v}\bigl(\operatorname{sen}v - \cos v\bigr).
Logo a primitiva geral é
I(v)=\frac{1}{2}\,e^{v}\bigl(\operatorname{sen}v - \cos v\bigr)+C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada:
  • Temos
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}v\,e^{v}\,dv = \left[\frac{1}{2}\,e^{v}\bigl(\operatorname{sen}v - \cos v\bigr)\right]_{v=0}^{v=1}.
Compute o valor em v=1:
\frac{1}{2}\,e^{1}\bigl(\operatorname{sen}1 - \cos 1\bigr).
Compute o valor em v=0 (usando \operatorname{sen}0=0, \cos 0=1, e^{0}=1):
\frac{1}{2}\,e^{0}\bigl(\operatorname{sen}0 - \cos 0\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot(0-1)= -\frac{1}{2}.
Subtraindo (valor em 1 menos valor em 0):
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}v\,e^{v}\,dv = \frac{1}{2}\,e\bigl(\operatorname{sen}1 - \cos 1\bigr) - \left(-\frac{1}{2}\right).
Portanto
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}v\,e^{v}\,dv = \frac{1}{2}\Bigl(e\bigl(\operatorname{sen}1 - \cos 1\bigr) + 1\Bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\Bigl(e\bigl(\operatorname{sen}1 - \cos 1\bigr) + 1\Bigr)

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