Exercício 29. Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Escolha do método: aqui é conveniente usar a técnica de integração por partes porque o integrando
não é imediatamente integrável por uma primitiva simples, mas pode ser visto como produto de duas funções simples:
e
. A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da diferenciação. Derivando o produto
tem-se
Integrando ambos os lados em
e rearranjando obtemos a fórmula de integração por partes:
Aqui
e
são funções escolhidas;
é a derivada de
e
é uma primitiva de
.
Passo 3
Escolha prática das funções (escolha clássica para
):
Agora calculo
e
:
Expliquei cada símbolo:
-
é a função que vamos derivar ( é sua derivada vezes ). -
é a parte que vamos integrar para obter .
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes à integral indefinida
:
No integrando da segunda parcela simplifica-se
, então
onde
é a constante de integração. Ou seja, uma primitiva de
é
.
Passo 5
Agora uso a primitiva
para avaliar a integral definida:
Calculo
e
:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas dá confiança): derivando a primitiva obtida
ou seja, a primitiva está correta.