Exercício 29. Calcule
\int_{1}^{e} \ln t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{e} \ln t\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é \ln t.
  • Os limites de integração são t=1 (limite inferior) e t=e (limite superior).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Escolha do método: aqui é conveniente usar a técnica de integração por partes porque o integrando \ln t não é imediatamente integrável por uma primitiva simples, mas pode ser visto como produto de duas funções simples: \ln t e 1. A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da diferenciação. Derivando o produto u(t)v(t) tem-se
\frac{d}{dt}\big(u(t)v(t)\big)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Integrando ambos os lados em t e rearranjando obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u(t)\,v'(t)\,dt = u(t)v(t)-\int u'(t)\,v(t)\,dt.
Aqui u(t) e v(t) são funções escolhidas; u'(t) é a derivada de u e v(t) é uma primitiva de v'(t).

Passo 3

Escolha prática das funções (escolha clássica para \ln t):
u=\ln t,\qquad dv = dt.
Agora calculo du e v:
du = \frac{1}{t}\,dt,\qquad v=\int dv=\int dt = t.
Expliquei cada símbolo:
  • u é a função que vamos derivar ( du é sua derivada vezes dt).
  • dv é a parte que vamos integrar para obter v.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes à integral indefinida \int \ln t\,dt:
\int \ln t\,dt = u v - \int v\,du = t\ln t - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt.
No integrando da segunda parcela simplifica-se t\cdot\frac{1}{t}=1, então
\int \ln t\,dt = t\ln t - \int 1\,dt = t\ln t - t + C,
onde C é a constante de integração. Ou seja, uma primitiva de \ln t é F(t)=t\ln t - t.

Passo 5

Agora uso a primitiva F(t)=t\ln t - t para avaliar a integral definida:
\int_{1}^{e} \ln t\,dt = F(e)-F(1).
Calculo F(e) e F(1):
F(e)=e\ln e - e = e\cdot 1 - e = 0,
F(1)=1\ln 1 - 1 = 1\cdot 0 - 1 = -1.
Portanto
\int_{1}^{e} \ln t\,dt = 0 - (-1) = 1.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas dá confiança): derivando a primitiva obtida
\frac{d}{dt}\big(t\ln t - t\big) = \ln t + t\cdot\frac{1}{t} - 1 = \ln t,
ou seja, a primitiva está correta.

Resposta

1

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