Exercício 29. Calcule
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx.
Informações dadas:
  • Intervalo de integração: 0 a 1.
  • Integrando: \left(x^{2}+1\right)e^{-x}.
    A pergunta é: calcular exatamente esse valor.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): é conveniente separar a integral em duas partes e calcular cada uma:
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}e^{-x}\,dx + \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx.
Para \int x^{2}e^{-x}\,dx vamos usar o método de integração por partes. Vou explicar esse método antes de aplicar.
Fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x) diferenciáveis vale
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos para diferenciar (normalmente escolhemos polinômios, pois derivar reduz o grau).
  • dv é o resto do integrando que sabemos integrar facilmente; ao integrá-lo obtemos v.
  • du é a diferencial de u.
    No nosso caso, sempre que tivermos um polinômio multiplicado por e^{-x}, a escolha natural é u= polinômio e dv=e^{-x}dx, porque integrar e^{-x} é simples.

Passo 3

Calcular a parte fácil:
\int_{0}^{1}e^{-x}\,dx.
Uma primitiva de e^{-x} é -e^{-x}. Portanto
\int_{0}^{1}e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{1} = -e^{-1} - (-e^{0}) = 1 - e^{-1}.

Passo 4

Calcular
C:=\int_{0}^{1}x e^{-x}\,dx,
pois vamos precisar desse resultado ao tratar x^{2}e^{-x}.
Aplicando integração por partes com u=x e dv=e^{-x}dx:
  • u=x implica du=dx.
  • dv=e^{-x}dx implica v=-e^{-x}.
    Pela fórmula,
\int x e^{-x}\,dx = uv - \int v\,du = -x e^{-x} - \int(-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
Uma primitiva completa é -(x+1)e^{-x}. Avaliando de 0 a 1:
C = \bigl[-(x+1)e^{-x}\bigr]_{0}^{1} = -(1+1)e^{-1} - \bigl(-(0+1)e^{0}\bigr) = -2e^{-1} + 1 = 1 - 2e^{-1}.

Passo 5

Agora calcular
B:=\int_{0}^{1}x^{2}e^{-x}\,dx.
Aplicando integração por partes com u=x^{2} e dv=e^{-x}dx:
  • u=x^{2} implica du=2x\,dx.
  • dv=e^{-x}dx implica v=-e^{-x}.
    Pela fórmula,
\int x^{2}e^{-x}\,dx = uv - \int v\,du = -x^{2}e^{-x} - \int(-e^{-x})\cdot 2x\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.
Então, integrando no intervalo [0,1],
B = \bigl[-x^{2}e^{-x}\bigr]_{0}^{1} + 2\int_{0}^{1}x e^{-x}\,dx.
Avaliação do primeiro termo:
\bigl[-x^{2}e^{-x}\bigr]_{0}^{1} = -1^{2}e^{-1} - 0 = -e^{-1}.
Usando C do passo anterior,
B = -e^{-1} + 2C = -e^{-1} + 2\bigl(1 - 2e^{-1}\bigr) = -e^{-1} + 2 - 4e^{-1}.
Somando os termos semelhantes:
B = 2 - 5e^{-1}.

Passo 6

Somar as duas partes para obter a integral original:
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}e^{-x}\,dx + \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx = B + (1 - e^{-1}).
Substituindo B=2-5e^{-1}:
B + (1 - e^{-1}) = \bigl(2 - 5e^{-1}\bigr) + \bigl(1 - e^{-1}\bigr) = 3 - 6e^{-1}.
Também se pode escrever a resposta como \displaystyle 3 - \frac{6}{e}.

Resposta

\,3 - \dfrac{6}{e}\,

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