Exercício 29. Calcule
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- Intervalo de integração:
a . - Integrando:
.
A pergunta é: calcular exatamente esse valor.
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): é conveniente separar a integral em duas partes e calcular cada uma:
Para
vamos usar o método de integração por partes. Vou explicar esse método antes de aplicar.
Fórmula de integração por partes: para funções
e
diferenciáveis vale
Aqui:
-
é uma função que escolhemos para diferenciar (normalmente escolhemos polinômios, pois derivar reduz o grau). -
é o resto do integrando que sabemos integrar facilmente; ao integrá-lo obtemos . -
é a diferencial de .
No nosso caso, sempre que tivermos um polinômio multiplicado por, a escolha natural é polinômio e , porque integrar é simples.
Passo 3
Calcular a parte fácil:
Uma primitiva de
é
. Portanto
Passo 4
Calcular
pois vamos precisar desse resultado ao tratar
.
Aplicando integração por partes com e
:
Aplicando integração por partes com
-
implica . -
implica .
Pela fórmula,
Uma primitiva completa é
. Avaliando de
a
:
Passo 5
Agora calcular
Aplicando integração por partes com
e
:
-
implica . -
implica .
Pela fórmula,
Então, integrando no intervalo
,
Avaliação do primeiro termo:
Usando
do passo anterior,
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Somar as duas partes para obter a integral original:
Substituindo
:
Também se pode escrever a resposta como
.