(1.0) Mostre que o volume de uma esfera de raio
é
usando integral tripla.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o volume de uma esfera de raio
é
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A figura geométrica é a esfera de raio
centrada na origem. - Objetivo: calcular o volume dessa região usando integral tripla.
Passo 2
Escolhemos coordenadas esféricas para descrever a esfera e montar a integral tripla. Vou explicar direitinho o que são as coordenadas esféricas e os intervalos de cada variável, porque isso é fundamental para montar a integral.
Definições (relação entre coordenadas cartesianas
e esféricas
):
onde:
-
é a distância do ponto à origem (o “raio” na coordenada), com . -
é o ângulo polar, medido a partir do eixo positivo, com . -
é o ângulo azimutal no plano , com .
Intervalos para descrever toda a esfera de raio
:
Agora a parte técnica: o elemento de volume em coordenadas esféricas (ou seja, o fator de correção do jacobiano) vale
Vou justificar rapidamente por que aparece
. Considere um pequeno incremento
,
,
. As três “arestas” aproximadas do pequeno bloco são:
- comprimento na direção radial:
, - comprimento na direção
: , - comprimento na direção
: .
Multiplicando essas três dimensões obtemos o volume aproximado do paralelepípedo:
No limite, isso dá
.
Passo 3
Agora montamos a integral tripla do volume da esfera
. O volume é a integral da função
sobre
:
Em coordenadas esféricas, usando o elemento
e os limites do Passo 2, isso vira:
Passo 4
Vamos calcular a integral passo a passo, integrando primeiro em
, depois em
e por fim em
.
Integração em
:
Substituindo na integral:
Como
é constante em
e
, podemos tirá-la para fora da integral:
Integração em
:
Agora a integral em
:
Multiplicando tudo:
Passo 5
Conclusão: o volume da esfera de raio
é
. Como checagem rápida, para
obtemos
, que é o valor conhecido da esfera unidade.