(1.0) Mostre que o volume de uma esfera de raio r é \frac{4 \pi r^{3}}{3} usando integral tripla.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o volume de uma esfera de raio r é \dfrac{4\pi r^{3}}{3}.
Informações dadas:
  • A figura geométrica é a esfera de raio r centrada na origem.
  • Objetivo: calcular o volume dessa região usando integral tripla.

Passo 2

Escolhemos coordenadas esféricas para descrever a esfera e montar a integral tripla. Vou explicar direitinho o que são as coordenadas esféricas e os intervalos de cada variável, porque isso é fundamental para montar a integral.
Definições (relação entre coordenadas cartesianas (x,y,z) e esféricas (\rho,\varphi,\theta)):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde:
  • \rho é a distância do ponto à origem (o “raio” na coordenada), com \rho\ge 0.
  • \varphi é o ângulo polar, medido a partir do eixo z positivo, com 0\le\varphi\le\pi.
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le\theta<2\pi.
Intervalos para descrever toda a esfera de raio r:
0 \le \rho \le r,\qquad 0 \le \varphi \le \pi,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
Agora a parte técnica: o elemento de volume em coordenadas esféricas (ou seja, o fator de correção do jacobiano) vale
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Vou justificar rapidamente por que aparece \rho^{2}\sin\varphi. Considere um pequeno incremento \Delta\rho, \Delta\varphi, \Delta\theta. As três “arestas” aproximadas do pequeno bloco são:
  • comprimento na direção radial: \Delta\rho,
  • comprimento na direção \varphi: \rho\,\Delta\varphi,
  • comprimento na direção \theta: \rho\sin\varphi\,\Delta\theta.
    Multiplicando essas três dimensões obtemos o volume aproximado do paralelepípedo:
\Delta V\approx \Delta\rho\cdot (\rho\Delta\varphi)\cdot(\rho\sin\varphi\Delta\theta)=\rho^{2}\sin\varphi\;\Delta\rho\Delta\varphi\Delta\theta.
No limite, isso dá dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Agora montamos a integral tripla do volume da esfera B=\{(x,y,z): x^{2}+y^{2}+z^{2}\le r^{2}\}. O volume é a integral da função 1 sobre B:
V=\iiint_{B} 1\,dV.
Em coordenadas esféricas, usando o elemento dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta e os limites do Passo 2, isso vira:
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{r} \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 4

Vamos calcular a integral passo a passo, integrando primeiro em \rho, depois em \varphi e por fim em \theta.
Integração em \rho:
\int_{0}^{r}\rho^{2}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{r}=\frac{r^{3}}{3}.
Substituindo na integral:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{r^{3}}{3}\sin\varphi\, d\varphi\, d\theta.
Como \dfrac{r^{3}}{3} é constante em \varphi e \theta, podemos tirá-la para fora da integral:
V=\frac{r^{3}}{3}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\, d\varphi\, d\theta.
Integração em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=1+1=2.
Agora a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo:
V=\frac{r^{3}}{3}\times 2 \times 2\pi = \frac{4\pi r^{3}}{3}.

Passo 5

Conclusão: o volume da esfera de raio r é \dfrac{4\pi r^{3}}{3}. Como checagem rápida, para r=1 obtemos V=\dfrac{4\pi}{3}, que é o valor conhecido da esfera unidade.

Resposta

\dfrac{4\pi r^{3}}{3}

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