Exercício 29. Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
a . - O integrando é
.
O que precisamos obter: o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Observação chave (pista para a técnica): a derivada da função
em relação a
é
Note que o integrando contém exatamente o fator
. Isso indica que a substituição
é adequada, porque então o diferencial
aparece naturalmente.
Explicando a ideia da substituição de forma didática: quando numa integral aparece uma composição
multiplicada por
, ou seja algo do tipo
, podemos tomar
e obter
. A integral passa a ser
, que costuma ser mais fácil. Aqui
e
.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente: seja
Então
Logo o elemento
do integrando é exatamente
. Substituindo na integral, o integrando
transforma-se em
.
Além disso, como é uma integral definida, devemos mudar os limites de integração usando
:
- quando
, temos ; - quando
, temos .
Portanto a integral original vira a integral em
Passo 4
Agora integraremos a função
. Lembrete: a primitiva (antiderivada) de
em relação a
é ela mesma, isto é,
logo
Como estamos com integral definida de
a
, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 5
Avalio os expoentes:
e
. Portanto
Como essa é exatamente a integral transformada da integral original, concluímos que o valor procurado é
.
Passo 6
Dica prática para a prova (resumindo a técnica): ao ver uma integral com uma função composta
e um fator que é a derivada de
(aqui
), pense imediatamente em
. Em geral, sempre que a parte externa for
e aparecer
, faça
. Exemplo rápido extra:
. Tomando
obtemos
.