Exercício 29. Calcule
\int_{0}^{\pi / 4} \frac{e^{\tan x}}{\cos ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4} \frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são x=0 a x=\pi/4.
  • O integrando é \dfrac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}.
O que precisamos obter: o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Observação chave (pista para a técnica): a derivada da função \tan x em relação a x é
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Note que o integrando contém exatamente o fator \dfrac{1}{\cos^{2}x}. Isso indica que a substituição u=\tan x é adequada, porque então o diferencial du aparece naturalmente.
Explicando a ideia da substituição de forma didática: quando numa integral aparece uma composição f(g(x)) multiplicada por g'(x), ou seja algo do tipo f(g(x))g'(x)\,dx, podemos tomar u=g(x) e obter du=g'(x)\,dx. A integral passa a ser \int f(u)\,du, que costuma ser mais fácil. Aqui f(u)=e^{u} e g(x)=\tan x.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente: seja
u=\tan x.
Então
du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx.
Logo o elemento \dfrac{1}{\cos^{2}x}\,dx do integrando é exatamente du. Substituindo na integral, o integrando \dfrac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}\,dx transforma-se em e^{u}\,du.
Além disso, como é uma integral definida, devemos mudar os limites de integração usando u=\tan x:
  • quando x=0, temos u=\tan 0=0;
  • quando x=\pi/4, temos u=\tan(\pi/4)=1.
Portanto a integral original vira a integral em u
\int_{0}^{\pi/4} \frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}\,dx = \int_{0}^{1} e^{u}\,du.

Passo 4

Agora integraremos a função e^{u}. Lembrete: a primitiva (antiderivada) de e^{u} em relação a u é ela mesma, isto é,
\frac{d}{du}(e^{u})=e^{u},
logo
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Como estamos com integral definida de 0 a 1, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0}.

Passo 5

Avalio os expoentes: e^{1}=e e e^{0}=1. Portanto
\int_{0}^{1} e^{u}\,du = e-1.
Como essa é exatamente a integral transformada da integral original, concluímos que o valor procurado é e-1.

Passo 6

Dica prática para a prova (resumindo a técnica): ao ver uma integral com uma função composta e^{\tan x} e um fator que é a derivada de \tan x (aqui 1/\cos^{2}x), pense imediatamente em u=\tan x. Em geral, sempre que a parte externa for f(g(x)) e aparecer g'(x), faça u=g(x). Exemplo rápido extra: \int e^{3x}\,dx. Tomando u=3x obtemos \int e^{u}\,\dfrac{du}{3}=\dfrac{1}{3}e^{u}+C=\dfrac{1}{3}e^{3x}+C.

Resposta

e-1

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