Exercício 28. Prove o Teorema do Valor Médio para Integrais: Se f for contínua em [a, b] então existe um número c em [a, b] tal que f\text{(c)}(b-a)=\int_{a}^{b} f(x) d x. (Dica considere a função F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t e utilize o TVM (versão original) e o TFC)
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Informação dada: f é contínua em [a,b].
O que se pede: provar que existe um número c em [a,b] tal que
f\text{(c)}(b-a)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Observação útil (não é resolução): o enunciado sugere considerar a função F definida por integração e usar o Teorema do Valor Médio (TVM) na sua versão clássica e o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Passo 2
Definição e propriedades básicas da função de integração que vamos usar.
Defina
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
para x\in[a,b].
Explicando devagar o que é essa F: para cada x ela dá a área algébrica acumulada de f desde a até x. Como f é contínua em [a,b], essa integral existe para todo x e F está bem definida em todo o intervalo.
Passo 3
Mostro que F é contínua em [a,b] (um passo técnico, mas simples e importante).
Porque f é contínua em [a,b] e [a,b] é compacto, f é limitada: existe M\ge0 tal que |f(t)|\le M para todo t\in[a,b]. Para x,y\in[a,b] temos
Essa desigualdade mostra que F é Lipschitz (e portanto contínua) em [a,b].
Passo 4
Mostro que F é diferenciável em (a,b) e que a derivada é F'(x)=f(x) — aqui uso uma parte do TFC (versão que garante derivabilidade quando f é contínua).
Como f é contínua em x, para h pequeno f(t) fica próximo de f(x). Mais formalmente: dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |h|<\delta, então |f(t)-f(x)|<\varepsilon para todo t entre x e x+h. Daí
Substituindo no resultado do TVM e lembrando que F'\text{(c)}=f\text{(c)} obtemos
f\text{(c)}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(t)\,dt,
ou, multiplicando ambos os lados por b-a,
f\text{(c)}(b-a)=\int_{a}^{b} f(t)\,dt.
Passo 8
Comentários finais e tratamento do caso degenerado.
Se a=b a igualdade é trivial: ambos os lados valem zero e qualquer c\in[a,a]=\{a\} serve.
Se a<b o argumento pelo TVM garante um c\in(a,b); portanto a afirmação pedida (existência de c\in[a,b]) está satisfeita — na verdade obtemos c no interior (a,b).
Intuitivamente, a prova diz que a integral média \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f coincide com o valor da função em algum ponto do intervalo, sempre que f for contínua.
Resposta
Existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}(b-a)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.