Exercício 28. Prove o Teorema do Valor Médio para Integrais: Se f for contínua em [a, b] então existe um número c em [a, b] tal que f\text{(c)}(b-a)=\int_{a}^{b} f(x) d x. (Dica considere a função F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t e utilize o TVM (versão original) e o TFC)

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação dada: f é contínua em [a,b].
  • O que se pede: provar que existe um número c em [a,b] tal que
f\text{(c)}(b-a)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
  • Observação útil (não é resolução): o enunciado sugere considerar a função F definida por integração e usar o Teorema do Valor Médio (TVM) na sua versão clássica e o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).

Passo 2

Definição e propriedades básicas da função de integração que vamos usar.
Defina
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
para x\in[a,b].
Explicando devagar o que é essa F: para cada x ela dá a área algébrica acumulada de f desde a até x. Como f é contínua em [a,b], essa integral existe para todo x e F está bem definida em todo o intervalo.

Passo 3

Mostro que F é contínua em [a,b] (um passo técnico, mas simples e importante).
Porque f é contínua em [a,b] e [a,b] é compacto, f é limitada: existe M\ge0 tal que |f(t)|\le M para todo t\in[a,b]. Para x,y\in[a,b] temos
|F(x)-F(y)|=\left|\int_{a}^{x} f(t)\,dt-\int_{a}^{y} f(t)\,dt\right|=\left|\int_{y}^{x} f(t)\,dt\right|\le M|x-y|.
Essa desigualdade mostra que F é Lipschitz (e portanto contínua) em [a,b].

Passo 4

Mostro que F é diferenciável em (a,b) e que a derivada é F'(x)=f(x) — aqui uso uma parte do TFC (versão que garante derivabilidade quando f é contínua).
Cálculo do quociente diferencial por definição:
\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Como f é contínua em x, para h pequeno f(t) fica próximo de f(x). Mais formalmente: dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |h|<\delta, então |f(t)-f(x)|<\varepsilon para todo t entre x e x+h. Daí
\left|\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt - f(x)\right| = \left|\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} (f(t)-f(x))\,dt\right| \le \frac{1}{|h|}\int_{x}^{x+ h} |f(t)-f(x)|\,dt <\varepsilon.
Como isso vale para todo \varepsilon>0, segue que
\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x).
Portanto F é diferenciável em (a,b) e
F'(x)=f(x)\quad\text{para todo }x\in(a,b).

Passo 5

Recordo o enunciado do Teorema do Valor Médio (TVM), versão original que vamos aplicar.
Se uma função G é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que
G'\text{(c)}=\frac{G(b)-G(a)}{b-a}.
Esse é o TVM clássico (também conhecido como Teorema de Lagrange).

Passo 6

Aplicação do TVM à função F definida no Passo 2.
Já vimos que F é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) com F'(x)=f(x). Pelo TVM existe algum c\in(a,b) tal que
F'\text{(c)}=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}.

Passo 7

Calculo o lado direito usando a definição de F e concluo.
Pela definição de F,
F(b)-F(a)=\int_{a}^{b} f(t)\,dt - \int_{a}^{a} f(t)\,dt=\int_{a}^{b} f(t)\,dt - 0=\int_{a}^{b} f(t)\,dt.
Substituindo no resultado do TVM e lembrando que F'\text{(c)}=f\text{(c)} obtemos
f\text{(c)}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(t)\,dt,
ou, multiplicando ambos os lados por b-a,
f\text{(c)}(b-a)=\int_{a}^{b} f(t)\,dt.

Passo 8

Comentários finais e tratamento do caso degenerado.
  • Se a=b a igualdade é trivial: ambos os lados valem zero e qualquer c\in[a,a]=\{a\} serve.
  • Se a<b o argumento pelo TVM garante um c\in(a,b); portanto a afirmação pedida (existência de c\in[a,b]) está satisfeita — na verdade obtemos c no interior (a,b).
  • Intuitivamente, a prova diz que a integral média \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f coincide com o valor da função em algum ponto do intervalo, sempre que f for contínua.

Resposta

Existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}(b-a)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.

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