Exercício 29. Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (3 x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A expressão a avaliar é \frac{\sin(3x)}{x}.
  • A variável x tende a 0.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vamos lembrar um limite fundamental que será útil: o limite
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Antes de usar esse resultado, vou explicar por que ele vale, passo a passo, para você poder aplicar com confiança na prova.

Passo 3

Enunciado e ideia do Teorema do Aperto (Squeeze Theorem). O Teorema do Aperto diz que se para uma função g(t) vale
\ell(t)\le g(t)\le u(t)
para t próximos de 0 (exceto possivelmente em 0) e se ambos os limites \lim_{t\to 0}\ell(t) e \lim_{t\to 0}u(t) existem e são iguais a L, então
\lim_{t\to 0}g(t)=L.
Vamos aplicar isso à função g(t)=\dfrac{\sin t}{t}.

Passo 4

Provar a desigualdade que permite aplicar o Teorema do Aperto. Para t com 0<t<\tfrac{\pi}{2} (pequenos positivos) há uma desigualdade geométrica clássica com a circunferência unitária que dá:
\cos t \le \frac{\sin t}{t} \le 1.
Breve justificativa (sem desenho técnico, só a intuição): na circunferência unitária, comparando o arco de ângulo t, o triângulo inscrito e o triângulo tangente, obtém-se as relações que levam a \sin t < t < \tan t. Dividindo por t e reescrevendo obtém-se \cos t < \dfrac{\sin t}{t} < 1. Para t negativos, a razão \dfrac{\sin t}{t} tem o mesmo valor por simetria (é uma função par), então a desigualdade estende-se à vizinhança de 0 removendo o zero.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Aperto. Como sabemos que
\lim_{t\to 0}\cos t = 1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{t\to 0}1 = 1,
e temos para t próximos de 0
\cos t \le \frac{\sin t}{t} \le 1,
o Teorema do Aperto implica
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Pronto — agora temos o resultado fundamental que usaremos.

Passo 6

Voltar ao limite original. Observe que podemos manipular a expressão \dfrac{\sin(3x)}{x} escrevendo um fator conveniente:
\frac{\sin(3x)}{x} = \frac{\sin(3x)}{3x}\cdot 3.
Aqui apenas multiplicamos e dividimos por 3 (operação algébrica válida para x\neq 0).

Passo 7

Usar a propriedade de limites (produto e substituição). Como \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1, substituindo t=3x e lembrando que quando x\to 0 também t=3x\to 0, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x}=1.
Multiplicando esse limite por 3 (regra: constante pode sair do limite), temos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3\cdot 1 = 3.

Resposta

3

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