Exercício 29. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações dadas e objetivo claro:
- A expressão a avaliar é
. - A variável
tende a . - O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Vamos lembrar um limite fundamental que será útil: o limite
Antes de usar esse resultado, vou explicar por que ele vale, passo a passo, para você poder aplicar com confiança na prova.
Passo 3
Enunciado e ideia do Teorema do Aperto (Squeeze Theorem). O Teorema do Aperto diz que se para uma função
vale
para
próximos de
(exceto possivelmente em
) e se ambos os limites
e
existem e são iguais a
, então
Vamos aplicar isso à função
.
Passo 4
Provar a desigualdade que permite aplicar o Teorema do Aperto. Para
com
(pequenos positivos) há uma desigualdade geométrica clássica com a circunferência unitária que dá:
Breve justificativa (sem desenho técnico, só a intuição): na circunferência unitária, comparando o arco de ângulo
, o triângulo inscrito e o triângulo tangente, obtém-se as relações que levam a
. Dividindo por
e reescrevendo obtém-se
. Para
negativos, a razão
tem o mesmo valor por simetria (é uma função par), então a desigualdade estende-se à vizinhança de
removendo o zero.
Passo 5
Aplicar o Teorema do Aperto. Como sabemos que
e temos para
próximos de
o Teorema do Aperto implica
Pronto — agora temos o resultado fundamental que usaremos.
Passo 6
Voltar ao limite original. Observe que podemos manipular a expressão
escrevendo um fator conveniente:
Aqui apenas multiplicamos e dividimos por
(operação algébrica válida para
).
Passo 7
Usar a propriedade de limites (produto e substituição). Como
, substituindo
e lembrando que quando
também
, obtemos
Multiplicando esse limite por
(regra: constante pode sair do limite), temos
Resposta
3