Exercício 30. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a infinito da função racional dada. Informações fornecidas:
- A expressão é
. - A variável
tende para .
A pergunta é: qual é o valor de?
Passo 2
Vamos entender, de modo simples, o que costuma acontecer quando
vai para infinito em frações com potências de
. Em uma expressão racional como
, os termos com maior potência de
dominam o comportamento para
. Isso significa que os termos de menor potência (por exemplo constantes ou termos com
no denominador) tornam-se irrelevantes quando comparados com os termos que crescem como
. Uma forma prática e segura de fazer isso em prova é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
).
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(que é ≠ 0 quando
), obtemos:
Aqui cada passo é apenas dividir termo a termo por
: por exemplo
vem de
e
vem de
.
Passo 4
Agora vamos analisar os termos
e
quando
. Para qualquer número positivo grande
,
é um número positivo muito pequeno e tende a
quando
. Rigorosamente: dado
, basta escolher
para que, se
, então
. O mesmo vale para
, que também tende a
. Portanto
Passo 5
Aplicando esses limites na expressão obtida em bloco:
Resposta
2