Exercício 30. Calcule:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+1}{x^{2}-3}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a infinito da função racional dada. Informações fornecidas:
  • A expressão é \dfrac{2x^{2}+1}{x^{2}-3}.
  • A variável x tende para +\infty.
    A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^{2}+1}{x^{2}-3}?

Passo 2

Vamos entender, de modo simples, o que costuma acontecer quando x vai para infinito em frações com potências de x. Em uma expressão racional como \dfrac{a x^{n}+\dots}{b x^{n}+\dots}, os termos com maior potência de x dominam o comportamento para x\to\infty. Isso significa que os termos de menor potência (por exemplo constantes ou termos com x no denominador) tornam-se irrelevantes quando comparados com os termos que crescem como x^{n}. Uma forma prática e segura de fazer isso em prova é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}).

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{2} (que é ≠ 0 quando x\to\infty), obtemos:
\frac{2x^{2}+1}{x^{2}-3} = \frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{2}}} = \frac{2+\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{3}{x^{2}}}.
Aqui cada passo é apenas dividir termo a termo por x^{2}: por exemplo \dfrac{1}{x^{2}} vem de \dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{3}{x^{2}} vem de \dfrac{3}{x^{2}}.

Passo 4

Agora vamos analisar os termos \dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{3}{x^{2}} quando x\to\infty. Para qualquer número positivo grande x, \dfrac{1}{x^{2}} é um número positivo muito pequeno e tende a 0 quando x\to\infty. Rigorosamente: dado \varepsilon>0, basta escolher M>\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}} para que, se x>M, então \dfrac{1}{x^{2}}<\varepsilon. O mesmo vale para \dfrac{3}{x^{2}}=\!3\cdot\dfrac{1}{x^{2}}, que também tende a 0. Portanto
\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\dfrac{3}{x^{2}}=0.

Passo 5

Aplicando esses limites na expressão obtida em bloco:
\lim_{x\to\infty}\frac{2+\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{3}{x^{2}}} = \frac{2+0}{1-0}.

Resposta

2

Exercícios relacionados