Exercício 27. Calcule:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser estudada é \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
  • O ponto de interesse é x=2, ou seja, estamos analisando o comportamento quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Tentar a substituição direta para ver se o limite dá um número:
\text{numerador em }x=2:\quad 2^{2}-4=4-4=0,
\text{denominador em }x=2:\quad 2-2=0.
Portanto a substituição direta leva a uma forma \dfrac{0}{0}, que é indeterminada. Vou explicar isso: forma indeterminada quer dizer que a expressão não fornece imediatamente o valor do limite — pode acontecer que o limite exista (se aproximando de um número finito) ou não exista. Precisamos transformar a expressão para descobrir o comportamento quando x se aproxima de 2.

Passo 3

Uma técnica padrão para esse tipo de indeterminação é fatorar e simplificar. Observe que o numerador é uma diferença de quadrados. Faço a fatoração:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).
Explicação rápida do que foi feito: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aqui a=x e b=2, então x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 4

Substituindo a fatoração na fração original:
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Para x\neq 2 podemos simplificar cancelando o fator comum (x-2):
\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\qquad\text{(valendo para }x\neq 2\text{)}.
Importante entender por que isso é válido para o cálculo do limite: o limite quando x\to 2 depende do comportamento da função para valores próximos de 2 (mas não necessariamente do valor em 2). Como as duas expressões são iguais para todo x diferente de 2, elas têm o mesmo limite em x\to 2.

Passo 5

Portanto
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}(x+2).
Agora aplico a propriedade do limite que permite a substituição direta em funções contínuas (polinômios são contínuos):
\lim_{x\rightarrow 2}(x+2)=2+2=4.
Um pequeno reforço: a razão pela qual agora dá para substituir diretamente é que x+2 é contínua em 2, então o limite é simplesmente o valor da função em 2.

Resposta

4

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