Exercício 27. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a ser estudada é
. - O ponto de interesse é
, ou seja, estamos analisando o comportamento quando se aproxima de .
Passo 2
Tentar a substituição direta para ver se o limite dá um número:
Portanto a substituição direta leva a uma forma
, que é indeterminada. Vou explicar isso: forma indeterminada quer dizer que a expressão não fornece imediatamente o valor do limite — pode acontecer que o limite exista (se aproximando de um número finito) ou não exista. Precisamos transformar a expressão para descobrir o comportamento quando
se aproxima de
.
Passo 3
Uma técnica padrão para esse tipo de indeterminação é fatorar e simplificar. Observe que o numerador é uma diferença de quadrados. Faço a fatoração:
Explicação rápida do que foi feito:
. Aqui
e
, então
.
Passo 4
Substituindo a fatoração na fração original:
Para
podemos simplificar cancelando o fator comum
:
Importante entender por que isso é válido para o cálculo do limite: o limite quando
depende do comportamento da função para valores próximos de
(mas não necessariamente do valor em
). Como as duas expressões são iguais para todo
diferente de
, elas têm o mesmo limite em
.
Passo 5
Portanto
Agora aplico a propriedade do limite que permite a substituição direta em funções contínuas (polinômios são contínuos):
Um pequeno reforço: a razão pela qual agora dá para substituir diretamente é que
é contínua em
, então o limite é simplesmente o valor da função em
.