Exercício 4.29 Encontre as assíntotas dos gráficos das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas do gráfico de
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}
O conteúdo é estudo de assíntotas: verticais, horizontais ou oblíquas. Para resolver precisamos
  1. Determinar o domínio e verificar pontos de descontinuidade que geram assíntotas verticais.
  2. Analisar o comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty para achar assíntotas horizontais ou oblíquas, usando divisão de polinômios ou limites.

Passo 2

O domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{0\}, pois x=0 zera o denominador. Logo em x=0 pode haver assíntota vertical. Calculamos
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{x^2-1}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{-1+o(1)}{x}=-\infty,
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\frac{-1+o(1)}{x}=+\infty.
Como um dos limites laterais diverge para \pm\infty, x=0 é assíntota vertical.

Passo 3

Para assíntota em infinito, dividimos
\frac{x^2-1}{x}=x-\frac{1}{x}.
Logo o candidato a assíntota oblíqua é y=x. Verificamos
\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(x)\bigr] =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(x-\frac{1}{x}-x\Bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)=0.
Como a diferença tende a zero em ambos os sentidos, y=x é assíntota oblíqua.

Resposta

A função tem:
x =0 como assíntota vertical
y=x como assíntota oblíqua

Exercícios relacionados