Exercício 29: De quantos modos podemos dividir 12 pessoas:
em dois grupos de 4 e dois grupos de 2?
em dois grupos de 4 e dois grupos de 2?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de particionar 12 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada e dois grupos de 2 pessoas cada. O conteúdo envolvido é combinatória de partições de conjuntos, em que aplicamos a fórmula que divide
pelo produto dos fatoriais dos tamanhos de cada grupo e pelos fatoriais das multiplicidades de grupos de mesmo tamanho.
Passo 2
A fórmula geral para particionar
elementos em grupos de tamanhos
, quando há grupos de mesmo tamanho com multiplicidade
, é
Passo 3
Aqui
, os tamanhos são
e há duas classes de grupos repetidos: dois grupos de tamanho 4 e dois grupos de tamanho 2. Logo
A fórmula fica
Passo 4
Calculamos os fatoriais:
então o denominador é
Passo 5
O numerador é
Fazendo a divisão,