Exercício 29: De quantos modos podemos dividir 12 pessoas:
em dois grupos de 4 e dois grupos de 2?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de particionar 12 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada e dois grupos de 2 pessoas cada. O conteúdo envolvido é combinatória de partições de conjuntos, em que aplicamos a fórmula que divide n! pelo produto dos fatoriais dos tamanhos de cada grupo e pelos fatoriais das multiplicidades de grupos de mesmo tamanho.

Passo 2

A fórmula geral para particionar n elementos em grupos de tamanhos n_{1},n_{2},\dots,n_{k}, quando há grupos de mesmo tamanho com multiplicidade m_{j}, é
\frac{n!}{n_{1}!\,n_{2}!\cdots n_{k}!\;\prod_{j}m_{j}!}\,.

Passo 3

Aqui n=12, os tamanhos são 4,4,2,2 e há duas classes de grupos repetidos: dois grupos de tamanho 4 e dois grupos de tamanho 2. Logo
n_{1}=4,\;n_{2}=4,\;n_{3}=2,\;n_{4}=2,\quad m_{4}=2,\;m_{2}=2.
A fórmula fica
\frac{12!}{4!\,4!\,2!\,2!\;\bigl(2!\bigr)\bigl(2!\bigr)}.

Passo 4

Calculamos os fatoriais:
4! = 24,\quad 2! = 2,
então o denominador é
24 \times 24 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 9216.

Passo 5

O numerador é
12! = 479\,001\,600.
Fazendo a divisão,
\frac{479\,001\,600}{9216} = 51\,975.

Resposta

51\,975 maneiras.

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