Um experimento possui a seguinte distribuição de probabilidade:
X 1 2 3 4
\mathrm{P}(\mathrm{X}) 0.4 0.1 0.3 0.2
(a) (0.5) Quais são o valor esperado e o desvio padrão para um único valor de X escolhido aleatoriamente?
(b) (0.5) Você seleciona aleatoriamente uma amostra de tamanho n= 50. Qual é o valor esperado para a média da amostra? Qual é o erro padrão da distribuição amostral?
(c) (1.5) Você seleciona aleatoriamente uma amostra de tamanho n= 50. Qual é a probabilidade de que a média da amostra esteja entre 2.2 e 2.5?

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com distribuição discreta
P(X=1)=0,4,\;P(X=2)=0,1,\;P(X=3)=0,3,\;P(X=4)=0,2
e pede:
a) E(X) e \mathrm{sd}(X) (desvio padrão) de um único sorteio;
b) para amostra de tamanho n=50, o valor esperado de \bar X e o erro padrão;
c) a probabilidade de \bar X cair em [2,2,\,2,5].
Os conteúdos usados serão esperança e variância de distribuição discreta e, para (c), o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Calculamos a esperança de X por
E(X)=\sum_x x\,P(X=x)=1\cdot0,4+2\cdot0,1+3\cdot0,3+4\cdot0,2=2,3.

Passo 3

Para a variância precisamos de E(X^2):
E(X^2)=1^2\cdot0,4+2^2\cdot0,1+3^2\cdot0,3+4^2\cdot0,2=6,7.
Logo
\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=6,7-(2,3)^2=1,41
e
\mathrm{sd}(X)=\sqrt{1,41}\approx1,187.

Passo 4

Para a amostra de tamanho n=50, a média amostral \bar X tem
E(\bar X)=E(X)=2,3,
e o erro padrão é
\mathrm{se}(\bar X)=\frac{\mathrm{sd}(X)}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{1,41}}{\sqrt{50}}\approx0,168.

Passo 5

Pelo Teorema Central do Limite, \bar X\approx N(2,3,\,0,168^2). Calculamos
z_1=\frac{2,2-2,3}{0,168}\approx-0,595, \quad z_2=\frac{2,5-2,3}{0,168}\approx1,190.
A probabilidade requerida é
P(2,2<\bar X<2,5)=\Phi(1,190)-\Phi(-0,595)\approx0,8830-0,2760=0,607.

Resposta

a) E(X)=2,3, \mathrm{sd}(X)\approx1,187
b) E(\bar X)=2,3, \mathrm{se}(\bar X)\approx0,168
c) P(2,2<\bar X<2,5)\approx0,607

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