Exercício 29: De quantos modos podemos dividir 12 pessoas:
em seis grupos de 2?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de dividir 12 pessoas em 6 grupos de 2. Isso é um problema de particionar um conjunto em pares (ou acasalamentos perfeitos). Para resolver, usamos contagem de permutações com correções pelas ordens irrelevantes.

Passo 2

Imagine primeiro ordenar todas as 12 pessoas: há 12! maneiras. Mas nessa contagem cada par está “ordenado” (quem vem antes ou depois) e os próprios pares estão “ordenados” entre si. Temos de corrigir:
  1. dentro de cada um dos 6 pares a ordem não importa, então dividimos por 2 para cada par, isto é por 2^6;
  2. a ordem dos 6 pares entre si não importa, então dividimos por 6!.
Logo o total é
\frac{12!}{2^6\cdot6!}.

Passo 3

Agora calculamos cada valor:
12! = 479\,001\,600, \quad 2^6 = 64, \quad 6! = 720.
Portanto
2^6\cdot6! = 64 \times 720 = 46\,080.

Passo 4

Fazendo a divisão,
\frac{479\,001\,600}{46\,080} = 10\,395.

Resposta

10\,395 maneiras.

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