Exercício 29: De quantos modos podemos dividir 12 pessoas:
em seis grupos de 2?
em seis grupos de 2?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de dividir
pessoas em
grupos de
. Isso é um problema de particionar um conjunto em pares (ou acasalamentos perfeitos). Para resolver, usamos contagem de permutações com correções pelas ordens irrelevantes.
Passo 2
Imagine primeiro ordenar todas as
pessoas: há
maneiras. Mas nessa contagem cada par está “ordenado” (quem vem antes ou depois) e os próprios pares estão “ordenados” entre si. Temos de corrigir:
- dentro de cada um dos
pares a ordem não importa, então dividimos por para cada par, isto é por ; - a ordem dos
pares entre si não importa, então dividimos por .
Logo o total é
Passo 3
Agora calculamos cada valor:
Portanto
Passo 4
Fazendo a divisão,