\mathrm{X} \backslash \mathrm{Y} 0 1 2
0 1 / 4 1 / 8 1 / 8
1 1 / 8 1 / 4 1 / 8
(a) (0.5) Determine as distribuições marginais de X e de Y.
(b) (0.5) X e Y são independentes?
(c) (0.5) Compute a função de probabilidade da variável aleatória W=X+Y.
(d) (0.5) Calcule a covariância de X e Y, \operatorname{Cov}(X, Y).
(e) (0.5) Calcule \operatorname{Var}(X+Y).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de probabilidade conjunta de duas variáveis discretas X e Y na tabela
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\backslash Y & 0 & 1 & 2\\hline 0 & \tfrac14 & \tfrac18 & \tfrac18\\hline 1 & \tfrac18 & \tfrac24? & \tfrac18\\hline \end{array}
e pede:
– as distribuições marginais de X e de Y,
– verificar se X e Y são independentes,
– a distribuição de W=X+Y,
\Cov(X,Y),
\Var(X+Y).

Passo 2

Para as marginais, somamos a função conjunta sobre a outra variável.
A distribuição de X é
P(X=0)=\tfrac14+\tfrac18+\tfrac18=\tfrac12, \quad P(X=1)=\tfrac18+\tfrac24?+\tfrac18=\tfrac12.
A distribuição de Y é
P(Y=0)=\tfrac14+\tfrac18=\tfrac38, \quad P(Y=1)=\tfrac18+\tfrac24?=\tfrac38, \quad P(Y=2)=\tfrac18+\tfrac18=\tfrac14.

Passo 3

Testamos independência verificando se
P(X=x,Y=y)\;=\;P(X=x)\,P(Y=y)
para todo par (x,y).
Por exemplo,
P(X=0,Y=0)=\tfrac14 \quad\text{mas}\quad P(X=0)\,P(Y=0)=\tfrac12\cdot\tfrac38=\tfrac{3}{16}\neq\tfrac14.
Logo, X e Y não são independentes.

Passo 4

Para W=X+Y, somamos as probabilidades de todos os pares cujo somatório seja w.
P(W=0)=P(0,0)=\tfrac14, \quad P(W=1)=P(0,1)+P(1,0)=\tfrac18+\tfrac18=\tfrac14,
P(W=2)=P(0,2)+P(1,1)=\tfrac18+\tfrac24?=\tfrac38, \quad P(W=3)=P(1,2)=\tfrac18.

Passo 5

Usamos \Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y].
Primeiro,
E[X]=0\cdot\tfrac12+1\cdot\tfrac12=\tfrac12, \quad E[Y]=0\cdot\tfrac38+1\cdot\tfrac38+2\cdot\tfrac14=\tfrac78.
Em seguida,
E[XY]=0+0+0+0+1\cdot1\cdot\tfrac24?+1\cdot2\cdot\tfrac18 =\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12.
Logo,
\Cov(X,Y)=\tfrac12-\tfrac12\cdot\tfrac78 =\tfrac12-\tfrac{7}{16} =\tfrac{1}{16}.

Passo 6

Para \Var(X+Y) usamos
\Var(X+Y)=\Var(X)+\Var(Y)+2\Cov(X,Y).
Calculamos
E[X^2]=0^2\cdot\tfrac12+1^2\cdot\tfrac12=\tfrac12, \quad \Var(X)=\tfrac12-(\tfrac12)^2=\tfrac14,
E[Y^2]=0^2\cdot\tfrac38+1^2\cdot\tfrac38+2^2\cdot\tfrac14 =\tfrac38+1=\tfrac{11}{8}, \quad \Var(Y)=\tfrac{11}{8}-(\tfrac78)^2=\tfrac{39}{64}.
Portanto,
\Var(X+Y) =\tfrac14+\tfrac{39}{64}+2\cdot\tfrac{1}{16} =\tfrac{16}{64}+\tfrac{39}{64}+\tfrac{8}{64} =\tfrac{63}{64}.

Resposta

(a) P_X(0)=\tfrac12,\;P_X(1)=\tfrac12;\;\;P_Y(0)=\tfrac38,\;P_Y(1)=\tfrac38,\;P_Y(2)=\tfrac14.
(b) Não são independentes.
(c) P_W(0)=\tfrac14,\;P_W(1)=\tfrac14,\;P_W(2)=\tfrac38,\;P_W(3)=\tfrac18.
(d) \Cov(X,Y)=\tfrac{1}{16}.
(e) \Var(X+Y)=\tfrac{63}{64}.

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