Exercício 2.30. Considere o campo vetorial
\vec{F}(x, y, z)=\frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}(x, y, z)
Calcule o fluxo de \vec{F} através do cubo -17 \leq x \leq 17,-17 \leq y \leq 17,-17 \leq z \leq 17, com vetor normal apontando para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\frac{1}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\,(x,y,z)
através do cubo definido por -17\le x,y,z\le17, com a normal apontando para fora. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) em presença de singularidade pontual no interior do volume.

Passo 2

Para r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\neq0, o campo pode ser escrito como
\vec{F}=\frac{\vec{r}}{r^{3}},
onde \vec{r}=(x,y,z). Calculamos a divergência em qualquer ponto sem a origem:
\nabla\cdot\vec{F} =\nabla\cdot\Bigl(r^{-3}\,\vec{r}\Bigr) =0,
pois trata-se do campo radial inverso ao quadrado, cujo espalhamento volumétrico é zero longe da singularidade.

Passo 3

Pela Divergência de Gauss, o fluxo total pelo cubo menos um pequeno esférico de raio \varepsilon centrado na origem vale
\iint_{\partial(\text{cubo}\setminus B_{\varepsilon})}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS =\iiint_{\text{cubo}\setminus B_{\varepsilon}}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV =0.
Isso implica que o fluxo pelo cubo é igual e oposto ao fluxo pelo interior da superfície esférica de raio \varepsilon.

Passo 4

No limite \varepsilon\to0, o fluxo através da esfera de raio \varepsilon é
\Phi_{\text{esfera}} =\iint_{S_{\varepsilon}}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS =\iint_{S_{\varepsilon}}\frac{1}{\varepsilon^{2}}\;dS =\frac{1}{\varepsilon^{2}}\cdot 4\pi\varepsilon^{2} =4\pi.
Como a orientação externa faz com que esse fluxo seja positivo, o fluxo através do cubo também é 4\pi.

Resposta

4\pi

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