Exercício 2.30. Considere o campo vetorial
Calcule o fluxo de
através do cubo
, com vetor normal apontando para fora.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através do cubo definido por
, com a normal apontando para fora. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) em presença de singularidade pontual no interior do volume.
Passo 2
Para
, o campo pode ser escrito como
onde
. Calculamos a divergência em qualquer ponto sem a origem:
pois trata-se do campo radial inverso ao quadrado, cujo espalhamento volumétrico é zero longe da singularidade.
Passo 3
Pela Divergência de Gauss, o fluxo total pelo cubo menos um pequeno esférico de raio
centrado na origem vale
Isso implica que o fluxo pelo cubo é igual e oposto ao fluxo pelo interior da superfície esférica de raio
.
Passo 4
No limite
, o fluxo através da esfera de raio
é
Como a orientação externa faz com que esse fluxo seja positivo, o fluxo através do cubo também é
.