Exercício 29. Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade dada por P[X=x]=c 2^-x para x in N=0,1,2,3, ldots (conjunto dos números naturais incluíndo o zero) e zero no complementar. Determine:
(a) O valor da constante c
(b) P(X <= 2)
© P(X>5)
(d) P(X ser ímpar )

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que P[X=x] = c,2^-x, x=0,1,2,dots é uma variável discreta com
e zero fora disso. A matéria que usamos aqui é soma de séries geométricas e normalização de probabilidade (a soma de todas as probabilidades tem que dar 1). Vamos precisar:
  1. Igualar para achar .
  2. Calcular somas parciais de séries geométricas para , e í.

Passo 2

Queremos achar sumx=0^infty P[X=x] ;=; sumx=0^infty c,2^-x ;=; 1 sabendo que
sumx=0^infty 2^-x ;=; 11 - tfrac12 ;=; 2
A série c cdot 2 = 1 Longrightarrow c = 12 é geométrica de razão , então
Logo

Passo 3

Agora P(X<=2) = sumx=0^2 12,2^-x = 12l(2^0 + 2^-1 + 2^-2r) = 12l(1 + tfrac12 + tfrac14r) = 12cdot74 = 78 . Substituindo :

Passo 4

Para P(X<=5) = sumx=0^5 12,2^-x = 12sumx=0^5 2^-x = 12l(1 - (1/2)^6r)/ l(1 - tfrac12r) = 12l(1 - tfrac164r)cdot2 = 1 - 164 a gente pode fazer P(X>5) = 1 - l(1 - 164r) = 164 . Primeiro
Então

Passo 5

Para P(X ímpar) = sumk=0^infty P[X=2k+1] = sumk=0^infty 12,2^-(2k+1) = 12sumk=0^infty 2^-1,2^-2k = 12cdot12sumk=0^infty l(2^-2r)^k í, somamos só os P(X ímpar) = 12cdot12cdot43 = 13 ímpares:
í
. Logo
í

Resposta

(a)
(b)
©
(d) í

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