Exercício 30. Suponha que uma variável aleatória discreta X tenha a seguinte distribuição de probabilidade P[X=x]=c x para x in0,1,2,3, ldots, N e zero no complementar. Determine:
(a) O valor da constante c quando N=4;
(b) O valor de c para um N qualquer
© P(X <= a), a <= N
(d) P(X ser par ).

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é a gente ter uma variável discreta X que só pode valer 0,1,2,…,N, e a probabilidade de cada valor é
P[X=x]=c,x
(igual a zero fora desse conjunto). O conteúdo envolvido é: variável aleatória discreta, normalização de probabilidades (somar tudo igual a 1), soma de sequência aritmética e probabilidade de eventos. A gente vai precisar saber somar de 0 até algum valor e usar essa soma pra achar a constante , depois calcular as probabilidades pedidas.

Passo 2

Parte (a) – sumx=0^4P[X=x]=1 Longrightarrow sumx=0^4c,x=1
A condição de normalização é
c,(1+2+3+4)=1 Longrightarrow ccdot10=1 Longrightarrow c=tfrac110
Como dá zero, sobra

Passo 3

Parte (b) – sumx=0^N x = N(N+1)2 genérico
Do mesmo jeitinho, a soma de c;N(N+1)2=1 Longrightarrow c=2N(N+1) de 0 até é
Então a normalização vira

Passo 4

Parte © – P(X<= a)=sumx=0^ac,x = c;a(a+1)2 , com P(X<= a) =2N(N+1);a(a+1)2 =a(a+1)N(N+1)
Você soma de até :
Substituindo :

Passo 5

Parte (d) – P(par) =sumk=0^lfloor N/2rfloorP[X=2k] =sumk=0^mc,(2k) =2csumk=0^mk =2c;m(m+1)2 =c,m(m+1), ser par P(par) =2N(N+1);m(m+1)
Um par é da forma , com . Então
onde . Substituindo :

Resposta

(a)
(b)
© , para
(d)

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