Exercício 30. Suponha que uma variável aleatória discreta
tenha a seguinte distribuição de probabilidade
para
e zero no complementar. Determine:
(a) O valor da constante
quando
;
(b) O valor de
para um
qualquer
©
(d)
ser par
.
(a) O valor da constante
(b) O valor de
©
(d)
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é a gente ter uma variável discreta X que só pode valer 0,1,2,…,N, e a probabilidade de cada valor é
(igual a zero fora desse conjunto). O conteúdo envolvido é: variável aleatória discreta, normalização de probabilidades (somar tudo igual a 1), soma de sequência aritmética e probabilidade de eventos. A gente vai precisar saber somar
de 0 até algum valor e usar essa soma pra achar a constante
, depois calcular as probabilidades pedidas.
Passo 2
Parte (a) –
A condição de normalização é
A condição de normalização é
Como
dá zero, sobra
Passo 3
Parte (b) –
genérico
Do mesmo jeitinho, a soma de de 0 até
é
Do mesmo jeitinho, a soma de
Então a normalização vira
Passo 4
Parte © –
, com
Você soma de até
:
Você soma de
Substituindo
:
Passo 5
Parte (d) –
ser par
Um par é da forma
, com
. Então
Um
onde
. Substituindo
:
Resposta
(a)
(b)
© , para
(d)
(b)
©
(d)