Exercício 29. Sejam \mathbf{E}=\left(\vec{e}_{1}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) uma base de V^{3}, \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}} e \overrightarrow{f_{3}}=3 \overrightarrow{e_{3}}.
(a) Mostre que \mathbf{F}=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) é uma base de V^{3}.
(b) Calcule m \in \mathbb{R}, para que os vetores \vec{u}=(0, m, 1)_{\mathbf{E}} e \vec{v}=(0,1,-1)_{\mathbf{F}} sejam L.D.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A base canônica (ou alguma base de referência) é \mathbf{E}=\left(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\right).
O vetor \vec{u} tem coordenadas em \mathbf{E} iguais a \vec{u}=(0,m,1)_{\mathbf{E}}. Isso significa que
\vec{u}=0\vec{e}_{1}+m\vec{e}_{2}+1\vec{e}_{3}.
O vetor \vec{v} tem coordenadas em \mathbf{F}=\left(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\right) iguais a \vec{v}=(0,1,-1)_{\mathbf{F}}. Isso significa que
As perguntas são:
(a) Mostrar que \mathbf{F} é uma base de V^{3}.
(b) Calcular m\in\mathbb{R} tal que \vec{u} e \vec{v} sejam linearmente dependentes.
Passo 2
Primeiro vou escrever as coordenadas dos \vec{f}_{i} em relação à base \mathbf{E}. Cada \vec{f}_{i} já está dado como combinação linear dos \vec{e}_{j}, então suas coordenadas em \mathbf{E} são:
Agora montamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas. Essa matriz transforma coordenadas em \mathbf{F} para coordenadas em \mathbf{E}. Chamo-a de M:
Vou explicar por que estudar \det(M) decide se \mathbf{F} é base. Uma família de três vetores em um espaço vetorial de dimensão 3 é base se e só se for linearmente independente. Linearidade independente equivale a a matriz formada por suas coordenadas (em relação a uma base conhecida) ser invertível. E uma matriz quadrada é invertível se e só se seu determinante for diferente de zero. Portanto, calcular \det(M) resolve (a).
Calculemos \det(M). A matriz tem entradas de forma que fica simples expandir; uso cofactores na primeira coluna:
Concluindo a parte (a): como \det(M)=3\neq 0, a matriz M é invertível. Isso implica que os vetores \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} são linearmente independentes e, por serem três vetores em espaço de dimensão 3, formam uma base de V^{3}. Portanto \mathbf{F} é uma base.
Passo 5
Agora a parte (b). Queremos m tal que \vec{u} e \vec{v} sejam linearmente dependentes. Em \mathbb{R}^{3} (ou em V^{3}) dois vetores são linearmente dependentes exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (quando não são ambos nulos). Então procuramos \lambda\in\mathbb{R} tal que
\vec{v}=\lambda\vec{u}.
Para resolver isso é mais direto escrever ambos na mesma base; como já temos \vec{u} em coordenadas de \mathbf{E} e \vec{v} pode ser escritas também em \mathbf{E}, faço isso.
Lembre que \vec{v}=\vec{f}_{2}-\vec{f}_{3}. Usando as coordenadas em \mathbf{E} que calculamos: