Exercício 29. Sejam \mathbf{E}=\left(\vec{e}_{1}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) uma base de V^{3}, \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}} e \overrightarrow{f_{3}}=3 \overrightarrow{e_{3}}.
(a) Mostre que \mathbf{F}=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) é uma base de V^{3}.
(b) Calcule m \in \mathbb{R}, para que os vetores \vec{u}=(0, m, 1)_{\mathbf{E}} e \vec{v}=(0,1,-1)_{\mathbf{F}} sejam L.D.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A base canônica (ou alguma base de referência) é \mathbf{E}=\left(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\right).
  • Foram definidos os vetores
\vec{f}_{1}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2},\qquad \vec{f}_{2}=\vec{e}_{2}-\vec{e}_{3},\qquad \vec{f}_{3}=3\vec{e}_{3}.
  • O vetor \vec{u} tem coordenadas em \mathbf{E} iguais a \vec{u}=(0,m,1)_{\mathbf{E}}. Isso significa que
\vec{u}=0\vec{e}_{1}+m\vec{e}_{2}+1\vec{e}_{3}.
  • O vetor \vec{v} tem coordenadas em \mathbf{F}=\left(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\right) iguais a \vec{v}=(0,1,-1)_{\mathbf{F}}. Isso significa que
\vec{v}=0\vec{f}_{1}+1\vec{f}_{2}+(-1)\vec{f}_{3}=\vec{f}_{2}-\vec{f}_{3}.
As perguntas são:
(a) Mostrar que \mathbf{F} é uma base de V^{3}.
(b) Calcular m\in\mathbb{R} tal que \vec{u} e \vec{v} sejam linearmente dependentes.

Passo 2

Primeiro vou escrever as coordenadas dos \vec{f}_{i} em relação à base \mathbf{E}. Cada \vec{f}_{i} já está dado como combinação linear dos \vec{e}_{j}, então suas coordenadas em \mathbf{E} são:
\vec{f}_{1}=(1,-1,0)_{\mathbf{E}},\qquad \vec{f}_{2}=(0,1,-1)_{\mathbf{E}},\qquad \vec{f}_{3}=(0,0,3)_{\mathbf{E}}.
Agora montamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas. Essa matriz transforma coordenadas em \mathbf{F} para coordenadas em \mathbf{E}. Chamo-a de M:
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vou explicar por que estudar \det(M) decide se \mathbf{F} é base. Uma família de três vetores em um espaço vetorial de dimensão 3 é base se e só se for linearmente independente. Linearidade independente equivale a a matriz formada por suas coordenadas (em relação a uma base conhecida) ser invertível. E uma matriz quadrada é invertível se e só se seu determinante for diferente de zero. Portanto, calcular \det(M) resolve (a).
Calculemos \det(M). A matriz tem entradas de forma que fica simples expandir; uso cofactores na primeira coluna:
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ -1 & 3\end{pmatrix}-(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 0\\\\ -1 & 3\end{pmatrix}+0\cdot\det(\cdots).
Agora calculo os determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ -1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-0\cdot(-1)=3,
\det\begin{pmatrix}0 & 0\\\\ -1 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-0\cdot(-1)=0.
Substituindo:
\det(M)=1\cdot 3 -(-1)\cdot 0 +0 =3.

Passo 4

Concluindo a parte (a): como \det(M)=3\neq 0, a matriz M é invertível. Isso implica que os vetores \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} são linearmente independentes e, por serem três vetores em espaço de dimensão 3, formam uma base de V^{3}. Portanto \mathbf{F} é uma base.

Passo 5

Agora a parte (b). Queremos m tal que \vec{u} e \vec{v} sejam linearmente dependentes. Em \mathbb{R}^{3} (ou em V^{3}) dois vetores são linearmente dependentes exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (quando não são ambos nulos). Então procuramos \lambda\in\mathbb{R} tal que
\vec{v}=\lambda\vec{u}.
Para resolver isso é mais direto escrever ambos na mesma base; como já temos \vec{u} em coordenadas de \mathbf{E} e \vec{v} pode ser escritas também em \mathbf{E}, faço isso.
Lembre que \vec{v}=\vec{f}_{2}-\vec{f}_{3}. Usando as coordenadas em \mathbf{E} que calculamos:
\vec{v}=(0,1,-1)_{\mathbf{E}}-(0,0,3)_{\mathbf{E}}=(0,1,-4)_{\mathbf{E}}.
E
\vec{u}=(0,m,1)_{\mathbf{E}}.

Passo 6

Agora imponho \vec{v}=\lambda\vec{u} em coordenadas em \mathbf{E}. Isso dá o sistema componente a componente:
(0,1,-4)=\lambda(0,m,1)=(0,\lambda m,\lambda).
Das componentes obtemos as equações:
0=0 \quad(\text{primeira componente, satisfeita sempre}),
1=\lambda m,
-4=\lambda.
Da terceira equação temos \lambda=-4. Substituindo em \,1=\lambda m obtemos
1=(-4)m \quad\Rightarrow\quad m=-\tfrac{1}{4}.

Resposta

(a) \mathbf{F} é base de V^{3}, pois \det\begin{pmatrix}1&0&0\\\ -1&1&0\\\ 0&-1&3\end{pmatrix}=3\neq0.\n
(b) m=-\tfrac{1}{4}.

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