Exercício 13. (Apostol seção 1.13 exercício 16.) Seja
um espaço vetorial com produto interno
e
a norma que vem deste produto interno. Mostre as seguintes identidades são válidas:
Passo 1
O enunciado pede para provar, em um espaço vetorial real
com produto interno
e norma induzida
, que
Para isso vamos usar a definição de norma em termos do produto interno e as propriedades de bilinearidade e simetria desse produto interno.
Passo 2
Computemos primeiro
. Pela definição de norma:
Como o produto interno é bilinear e simétrico (em espaços reais), temos
Passo 3
Agora calculemos
. Novamente pela definição:
e, usando bilinearidade,
Passo 4
Subtraímos as duas expressões:
Os termos
e
se cancelam, restando