Exercício 13. (Apostol seção 1.13 exercício 16.) Seja V um espaço vetorial com produto interno lang<=,rang<=: V times V R e ||: V [0, infty[ a norma que vem deste produto interno. Mostre as seguintes identidades são válidas:
|u+v|^2-|u-v|^2=2lang<= u, vrang<=+2lang<= v, urang<=

Passo 1

O enunciado pede para provar, em um espaço vetorial real V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e norma induzida |x|^2=lang<= x,xrang<=, que
|u+v|^2-|u-v|^2 = 2lang<= u,vrang<= + 2lang<= v,urang<=
Para isso vamos usar a definição de norma em termos do produto interno e as propriedades de bilinearidade e simetria desse produto interno.

Passo 2

Computemos primeiro |u+v|^2. Pela definição de norma:
|u+v|^2 = lang<=,u+v,;u+v,rang<=
Como o produto interno é bilinear e simétrico (em espaços reais), temos
lang<=,u+v,;u+v,rang<= = lang<= u,urang<= + lang<= u,vrang<= + lang<= v,urang<= + lang<= v,vrang<=

Passo 3

Agora calculemos |u-v|^2. Novamente pela definição:
|u-v|^2 = lang<=,u-v,;u-v,rang<=
e, usando bilinearidade,
lang<=,u-v,;u-v,rang<= = lang<= u,urang<= - lang<= u,vrang<= - lang<= v,urang<= + lang<= v,vrang<=

Passo 4

Subtraímos as duas expressões:
|u+v|^2-|u-v|^2 = l(lang<= u,urang<=+lang<= u,vrang<=+lang<= v,urang<=+lang<= v,vrang<=r) - l(lang<= u,urang<=-lang<= u,vrang<=-lang<= v,urang<=+lang<= v,vrang<=r)
Os termos lang<= u,urang<= e lang<= v,vrang<= se cancelam, restando
|u+v|^2-|u-v|^2 = 2lang<= u,vrang<= + 2lang<= v,urang<=

Resposta

|u+v|^2-|u-v|^2 = 2lang<= u,vrang<= + 2lang<= v,urang<=

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