Exercício 33: Seja X uma variável aleatória com distribuição logística, isto é, X tem densidade f(x)=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}, x \in \mathbb{R}. Obtenha o valor esperado de X.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor esperado de X, onde X tem densidade
f(x)=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}},\qquad x\in\mathbb{R}.
Informações relevantes dadas:
  • A função densidade f(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Queremos E[X], que pela definição é a integral de x contra a densidade em todo o eixo real:
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.

Passo 2

Vamos lembrar a definição e uma propriedade útil.
  • Definição de valor esperado (para variáveis contínuas): E[X]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx, desde que essa integral exista (se converge absolutamente ou ao menos como integral imprópria convergente).
  • Propriedade importante sobre simetria: se uma função g é ímpar, ou seja, g(-x)=-g(x) para todo x, então
\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0
para todo a>0. Em particular, se g é ímpar e integrável no sentido improprio, então
\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,dx = 0.
Também, uma função h é par se h(-x)=h(x).

Passo 3

Vamos verificar a simetria da densidade f. Calcule f(-x):
f(-x)=\frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}.
Queremos ver se isso é igual a f(x)=\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}. Façamos uma manipulação algébrica para transformar f(x):
\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}} = \frac{1/e^{x}}{\bigl(1+1/e^{x}\bigr)^{2}} = \frac{1/e^{x}}{\bigl((e^{x}+1)/e^{x}\bigr)^{2}} = \frac{1/e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}/e^{2x}} = \frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}.
Portanto
f(x)=\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}=f(-x).
Logo f é uma função par (simétrica em relação à origem).

Passo 4

Agora examine o integrando da esperança: x\,f(x). Multiplicando uma função par f(x) por x (que é ímpar) obtemos uma função ímpar, porque
(xf(x))(-t) = (-t) f(-t) = -t f(t) = - (t f(t)).
Ou seja, x f(x) satisfaz (x f(x))(-x) = - x f(x), portanto x f(x) é ímpar.

Passo 5

Como x f(x) é ímpar e é integrável como integral imprópria (a densidade logística tem cauda exponencial e o produto x f(x) tem comportamento que garante convergência da integral simétrica), podemos usar a propriedade da integral de função ímpar sobre um intervalo simétrico:
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx = 0.
Uma forma explícita de ver o cancelamento é escrever a integral como limite simétrico:
\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx = \lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A} x f(x)\,dx = \lim_{A\to\infty} 0 = 0,
pois a integral de uma função ímpar em [-A,A] é zero para todo A.

Passo 6

Interpretação intuitiva (para me dar confiança): a densidade logística dada é simétrica em torno de 0 (mediana e média simétricas), então as contribuições positivas e negativas de x se cancelam perfeitamente, resultando em média zero.

Resposta

0

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