Exercício 33: Seja
uma variável aleatória com distribuição logística, isto é, X tem densidade
. Obtenha o valor esperado de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor esperado de
, onde
tem densidade
Informações relevantes dadas:
- A função densidade
está definida para todo . - Queremos
, que pela definição é a integral de contra a densidade em todo o eixo real:
Passo 2
Vamos lembrar a definição e uma propriedade útil.
- Definição de valor esperado (para variáveis contínuas):
, desde que essa integral exista (se converge absolutamente ou ao menos como integral imprópria convergente). - Propriedade importante sobre simetria: se uma função
é ímpar, ou seja, para todo , então
para todo
. Em particular, se
é ímpar e integrável no sentido improprio, então
Também, uma função
é par se
.
Passo 3
Vamos verificar a simetria da densidade
. Calcule
:
Queremos ver se isso é igual a
. Façamos uma manipulação algébrica para transformar
:
Portanto
Logo
é uma função par (simétrica em relação à origem).
Passo 4
Agora examine o integrando da esperança:
. Multiplicando uma função par
por
(que é ímpar) obtemos uma função ímpar, porque
Ou seja,
satisfaz
, portanto
é ímpar.
Passo 5
Como
é ímpar e é integrável como integral imprópria (a densidade logística tem cauda exponencial e o produto
tem comportamento que garante convergência da integral simétrica), podemos usar a propriedade da integral de função ímpar sobre um intervalo simétrico:
Uma forma explícita de ver o cancelamento é escrever a integral como limite simétrico:
pois a integral de uma função ímpar em
é zero para todo
.
Passo 6
Interpretação intuitiva (para me dar confiança): a densidade logística dada é simétrica em torno de
(mediana e média simétricas), então as contribuições positivas e negativas de
se cancelam perfeitamente, resultando em média zero.