Exercício 30 (Exercício 32. Calcule a derivada de:). Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sinh} x \cdot \tan x

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a sua derivada:
f(x)=\operatorname{sinh} x \cdot \tan x.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é um produto de duas funções elementares: \operatorname{sinh} x e \tan x.
  • É solicitado f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto. Se tivermos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é dada por
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u' significa a derivada de u em relação a x e v' a derivada de v. No nosso caso podemos identificar
u(x)=\operatorname{sinh} x,\qquad v(x)=\tan x.
Então precisamos computar u'(x) e v'(x) e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Derivada de \operatorname{sinh} x. Lembre que
\operatorname{sinh} x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Derivando termo a termo (derivada de e^{x} é e^{x} e de e^{-x} é -e^{-x}), obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} = \operatorname{cosh} x.
Portanto
u'(x)=\operatorname{cosh} x.

Passo 4

Derivada de \tan x. Podemos usar a definição \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e aplicar a regra do quociente. Se v(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}, então
v'(x)=\frac{\cos x\cdot(\cos x)-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.
Como \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, tem-se
v'(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto
v'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com u=\operatorname{sinh} x e v=\tan x. Substituindo u' e v' no fórmula (uv)'=u'v+uv', obtemos
f'(x)=\operatorname{cosh} x\cdot \tan x + \operatorname{sinh} x\cdot \operatorname{sec}^{2}x.
Essa é a forma direta e já é uma resposta adequada. Se quiser, dá para reescrever \operatorname{sec}^{2}x como \dfrac{1}{\cos^{2}x}, ficando
f'(x)=\operatorname{cosh} x\,\tan x + \frac{\operatorname{sinh} x}{\cos^{2}x}.

Resposta

\operatorname{cosh} x\cdot \tan x + \operatorname{sinh} x\cdot \operatorname{sec}^{2}x

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