Exercício 30 (Exercício 32. Calcule a derivada de:). Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{\left(x^{3}+7\right) \cos x}{x^{2}(\operatorname{sen} x+1)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\left(x^{3}+7\right)\cos x}{x^{2}\big(\operatorname{sen} x+1\big)}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{função }f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}\quad\text{com}\quad N(x)=\big(x^{3}+7\big)\cos x,\; D(x)=x^{2}\big(\operatorname{sen} x+1\big).çã
Observação importante (informação do próprio enunciado pela fórmula): a função só está definida quando x\neq 0 e \operatorname{sen} x\neq -1 (pois D(x)\neq 0).
Neste passo não resolvemos nada ainda; apenas fixamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a regra do quociente, porque a função está escrita claramente como um quociente N(x)/D(x). A regra do quociente é direta e usa derivadas de N e D, que são fáceis de obter aqui (cada uma é produto de funções simples). Não usamos diferenciação logarítmica porque o quociente e os produtos são simples e a diferenciação direta é mais rápida neste caso.

Passo 3

Apresento a fórmula da regra do quociente e explico cada símbolo:
\text{Se }f(x)=\frac{N(x)}{D(x)},\quad\text{então}\quad f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{\big(D(x)\big)^{2}}.ã
Aqui N'(x) é a derivada de N e D'(x) é a derivada de D. Iremos calcular N'(x) e D'(x) usando a regra do produto.

Passo 4

Definimos novamente, para ficar claro:
N(x)=\big(x^{3}+7\big)\cos x,\qquad D(x)=x^{2}\big(\operatorname{sen} x+1\big).
Vamos calcular N'(x) e D'(x) separadamente.

Passo 5

Cálculo de N'(x) usando a regra do produto. Regra do produto: se u(x)v(x) então (uv)'=u'v+uv'.
Aqui u(x)=x^{3}+7 e v(x)=\cos x.
u'(x)=3x^{2},\qquad v'(x)=-\operatorname{sen} x.
Aplicando a regra do produto:
N'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3x^{2}\cos x-(x^{3}+7)\operatorname{sen} x.

Passo 6

Cálculo de D'(x) também por regra do produto. Agora u(x)=x^{2} e v(x)=\operatorname{sen} x+1.
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=\cos x.
Aplicando a regra do produto:
D'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\big(\operatorname{sen} x+1\big)+x^{2}\cos x.
Podemos escrever também
D'(x)=2x\operatorname{sen} x+2x+x^{2}\cos x.

Passo 7

Agora aplicamos a regra do quociente com N'(x), N(x), D'(x) e D(x):
f'(x)=\frac{\big(3x^{2}\cos x-(x^{3}+7)\operatorname{sen} x\big)\,x^{2}\big(\operatorname{sen} x+1\big)-\big(x^{3}+7\big)\cos x\big(2x(\operatorname{sen} x+1)+x^{2}\cos x\big)}{\big(x^{2}(\operatorname{sen} x+1)\big)^{2}}.
Agora vamos simplificar passo a passo esse numerador pesado.

Passo 8

Expandimos o numerador e agrupamos termos cuidadosamente.
Primeiro espalhando os fatores:
\begin{aligned} \text{Num} &=3x^{2}\cos x\cdot x^{2}(\operatorname{sen} x+1)-(x^{3}+7)\operatorname{sen} x\cdot x^{2}(\operatorname{sen} x+1)\\\ &\quad-(x^{3}+7)\cos x\cdot 2x(\operatorname{sen} x+1)-(x^{3}+7)\cos x\cdot x^{2}\cos x. \end{aligned}
Escrevendo termo a termo:
\begin{aligned} \text{Num}&=3x^{4}\cos x(\operatorname{sen} x+1)\\\ &\quad-(x^{3}+7)x^{2}(\operatorname{sen} x+1)\operatorname{sen} x\\\ &\quad-2x(x^{3}+7)\cos x(\operatorname{sen} x+1)\\\ &\quad-(x^{3}+7)x^{2}\cos^{2}x. \end{aligned}

Passo 9

Fatoramos (\operatorname{sen} x+1) onde é possível e usamos a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1 para simplificar. Observe os termos com x^{2} multiplicando \operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x+1) e o termo com \cos^{2}x:
x^{2}(\operatorname{sen} x+1)\operatorname{sen} x + x^{2}\cos^{2}x = x^{2}\big(\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{sen} x+\cos^{2}x\big)=x^{2}(1+\operatorname{sen} x).
Assim o bloco de três termos que envolvem (x^{3}+7) pode ser reescrito como
(x^{3}+7)\Big[x^{2}(\operatorname{sen} x+1)\operatorname{sen} x + 2x\cos x(\operatorname{sen} x+1) + x^{2}\cos^{2}x\Big] =(x^{3}+7)(\operatorname{sen} x+1)\big(x^{2}+2x\cos x\big).
Portanto o numerador fica
\begin{aligned} \text{Num}&=3x^{4}\cos x(\operatorname{sen} x+1)-(x^{3}+7)(\operatorname{sen} x+1)\big(x^{2}+2x\cos x\big)\\\ &=(\operatorname{sen} x+1)\Big[3x^{4}\cos x-(x^{3}+7)\big(x^{2}+2x\cos x\big)\Big]. \end{aligned}

Passo 10

Simplificamos o que está entre colchetes:
\begin{aligned} &\;3x^{4}\cos x-(x^{3}+7)\big(x^{2}+2x\cos x\big)\\\ &=3x^{4}\cos x-(x^{3}+7)x^{2}-2x(x^{3}+7)\cos x\\\ &=(3x^{4}\cos x-2x^{4}\cos x)-x^{5}-7x^{2}-14x\cos x\\\ &=x^{4}\cos x-x^{5}-7x^{2}-14x\cos x. \end{aligned}
Logo o numerador completo é
\text{Num}=(\operatorname{sen} x+1)\big(x^{4}\cos x-x^{5}-7x^{2}-14x\cos x\big).

Passo 11

Colocando tudo sobre o denominador \big(x^{2}(\operatorname{sen} x+1)\big)^{2}=x^{4}(\operatorname{sen} x+1)^{2}, obtemos
f'(x)=\frac{(\operatorname{sen} x+1)\big(x^{4}\cos x-x^{5}-7x^{2}-14x\cos x\big)}{x^{4}(\operatorname{sen} x+1)^{2}}.
Agora cancelamos um fator (\operatorname{sen} x+1) do numerador e do denominador — isso é permitido porque estamos considerando x tais que \operatorname{sen} x\neq -1 (caso contrário a função não está definida). Assim
f'(x)=\frac{x^{4}\cos x-x^{5}-7x^{2}-14x\cos x}{x^{4}(\operatorname{sen} x+1)}.

Passo 12

Podemos ainda simplificar cancelando um fator x em numerador e denominador, válido quando x\neq 0 (novamente consistente com o domínio original):
\begin{aligned} f'(x)&=\frac{x^{4}\cos x-x^{5}-7x^{2}-14x\cos x}{x^{4}(\operatorname{sen} x+1)}\\\ &=\frac{x\big(x^{3}\cos x-x^{4}-7x-14\cos x\big)}{x\cdot x^{3}(\operatorname{sen} x+1)}\\\ &=\frac{x^{3}\cos x-x^{4}-7x-14\cos x}{x^{3}(\operatorname{sen} x+1)}. \end{aligned}
Essa é uma forma mais compacta e prática da derivada; lembre que é válida para x\neq 0 e \operatorname{sen} x\neq -1.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{3}\cos x-x^{4}-7x-14\cos x}{x^{3}(\operatorname{sen} x+1)}

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