Exercício 30 (Exercício 32. Calcule a derivada de:). Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Observação importante (informação do próprio enunciado pela fórmula): a função só está definida quando
e
(pois
).
Neste passo não resolvemos nada ainda; apenas fixamos o que é pedido e os dados.
Neste passo não resolvemos nada ainda; apenas fixamos o que é pedido e os dados.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a regra do quociente, porque a função está escrita claramente como um quociente
. A regra do quociente é direta e usa derivadas de
e
, que são fáceis de obter aqui (cada uma é produto de funções simples). Não usamos diferenciação logarítmica porque o quociente e os produtos são simples e a diferenciação direta é mais rápida neste caso.
Passo 3
Apresento a fórmula da regra do quociente e explico cada símbolo:
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
. Iremos calcular
e
usando a regra do produto.
Passo 4
Definimos novamente, para ficar claro:
Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 5
Cálculo de
usando a regra do produto. Regra do produto: se
então
.
Aqui e
.
Aqui
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Cálculo de
também por regra do produto. Agora
e
.
Aplicando a regra do produto:
Podemos escrever também
Passo 7
Agora aplicamos a regra do quociente com
,
,
e
:
Agora vamos simplificar passo a passo esse numerador pesado.
Passo 8
Expandimos o numerador e agrupamos termos cuidadosamente.
Primeiro espalhando os fatores:
Primeiro espalhando os fatores:
Escrevendo termo a termo:
Passo 9
Fatoramos
onde é possível e usamos a identidade trigonométrica
para simplificar. Observe os termos com
multiplicando
e o termo com
:
Assim o bloco de três termos que envolvem
pode ser reescrito como
Portanto o numerador fica
Passo 10
Simplificamos o que está entre colchetes:
Logo o numerador completo é
Passo 11
Colocando tudo sobre o denominador
, obtemos
Agora cancelamos um fator
do numerador e do denominador — isso é permitido porque estamos considerando
tais que
(caso contrário a função não está definida). Assim
Passo 12
Podemos ainda simplificar cancelando um fator
em numerador e denominador, válido quando
(novamente consistente com o domínio original):
Essa é uma forma mais compacta e prática da derivada; lembre que é válida para
e
.