Exercício 31 (Exercício 37. Calcular f^{\prime}(x) nos seguintes casos:). Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=e^{x^{2}}.\n
Informações dadas: a função é a exponencial de x^{2}, ou seja, é uma composição entre uma função exponencial e uma função polinomial. O objetivo final é obter f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vamos reescrever f como composição de duas funções para organizar a resolução. Definimos a função interna
u(x)=x^{2}
e a função externa
g(u)=e^{u}.
Assim f(x)=g(u(x)). Esta reescrita só facilita visualizar que temos uma composição.

Passo 3

Apresento a regra que vou usar: Regra da cadeia (cadeia de funções). Ela diz o seguinte: se f(x)=g(u(x)), então a derivada de f em relação a x é
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explicando cada parte: u'(x) é a derivada da função interna u em relação a x; g'(u) é a derivada da função externa g em relação à sua variável u; depois substituímos u por u(x). Intuição curta: derivar a “casca” e multiplicar pela taxa de variação do “miolo”.

Passo 4

Calculamos g'(u) para g(u)=e^{u}. Conhecimento importante (e muito usado): a derivada da função exponencial natural é ela mesma, ou seja
g'(u)=\frac{d}{du}e^{u}=e^{u}.
Então, ao aplicar a regra da cadeia, a parte proveniente da função externa ficará igual a e^{u(x)}.

Passo 5

Calculamos u'(x) para u(x)=x^{2}. Usamos a regra da potência (power rule): para h(x)=x^{n} com n constante, tem-se \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando com n=2,
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Aqui 2x é a taxa de variação do termo interno x^{2}.

Passo 6

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia. Substituindo g'(u)=e^{u} e u'(x)=2x na fórmula da cadeia:
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=e^{u(x)}\cdot 2x.
E como u(x)=x^{2}, obtemos
f'(x)=2x\,e^{x^{2}}.
Esse é o resultado final e é compacto: a derivada da exponencial mantém a exponencial e multiplica pelo derivado do expoente.

Passo 7

Pequena verificação numérica para ganhar confiança: se x=1, então f(1)=e^{1}=e e pela fórmula f'(1)=2\cdot 1\cdot e^{1}=2e. Faz sentido: a taxa de variação em x=1 é 2e.

Resposta

f'(x)=2x\,e^{x^{2}}

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