Exercício 31 (Exercício 37. Calcular
nos seguintes casos:). Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.\n
Informações dadas: a função é a exponencial de , ou seja, é uma composição entre uma função exponencial e uma função polinomial. O objetivo final é obter
, a derivada de
em termos de
.
Informações dadas: a função é a exponencial de
Passo 2
Vamos reescrever
como composição de duas funções para organizar a resolução. Definimos a função interna
e a função externa
Assim
. Esta reescrita só facilita visualizar que temos uma composição.
Passo 3
Apresento a regra que vou usar: Regra da cadeia (cadeia de funções). Ela diz o seguinte: se
, então a derivada de
em relação a
é
Explicando cada parte:
é a derivada da função interna
em relação a
;
é a derivada da função externa
em relação à sua variável
; depois substituímos
por
. Intuição curta: derivar a “casca” e multiplicar pela taxa de variação do “miolo”.
Passo 4
Calculamos
para
. Conhecimento importante (e muito usado): a derivada da função exponencial natural é ela mesma, ou seja
Então, ao aplicar a regra da cadeia, a parte proveniente da função externa ficará igual a
.
Passo 5
Calculamos
para
. Usamos a regra da potência (power rule): para
com
constante, tem-se
. Aplicando com
,
Aqui
é a taxa de variação do termo interno
.
Passo 6
Agora juntamos tudo pela regra da cadeia. Substituindo
e
na fórmula da cadeia:
E como
, obtemos
Esse é o resultado final e é compacto: a derivada da exponencial mantém a exponencial e multiplica pelo derivado do expoente.
Passo 7
Pequena verificação numérica para ganhar confiança: se
, então
e pela fórmula
. Faz sentido: a taxa de variação em
é
.