Exercício 32 (Tanque cônico enchendo). Um cone vertical (vértice para baixo) tem altura H=3 \mathrm{~m} e raio superior R=2 \mathrm{~m}. Água é bombeada a Q=\frac{d V}{d t}=0,02 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Quando a profundidade é h=1,2 \mathrm{~m}, determine a taxa de variação \frac{d h}{d t}.

Passo 1

O enunciado fornece um cone vertical (vértice para baixo) com altura superior H=3\\ \mathrm{m} e raio superior R=2\\ \mathrm{m}. Água está sendo bombeada para dentro do cone com taxa de volume
\frac{dV}{dt}=Q=0{,}02\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
No instante considerado a profundidade (altura do líquido) é h=1{,}2\\ \mathrm{m}. A pergunta é: encontrar a taxa de variação \dfrac{dh}{dt} nesse instante.
Informações relevantes listadas:
H=3,\quad R=2,\quad \frac{dV}{dt}=0{,}02,\quad h=1{,}2.

Passo 2

Precisamos relacionar o raio da superfície do líquido r com a profundidade h, porque o volume do cone depende de r e h. Olhando para a geometria do cone, os triângulos formados por raio e altura são semelhantes, então vale a proporção
\frac{r}{h}=\frac{R}{H}.
Substituindo R e H,
\frac{r}{h}=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{2}{3}\,h.
Explicação curta: triângulos semelhantes significam que as razões correspondentes dos lados são iguais, daí surge essa relação direta entre r e h.

Passo 3

Escrevemos a fórmula do volume de um cone em função de r e h:
V=\frac{1}{3}\pi r^{2} h.
Aqui V é o volume do líquido (em \mathrm{m}^3), r é o raio da superfície do líquido (em \mathrm{m}) e h é a profundidade do líquido (em \mathrm{m}).

Passo 4

Substituímos r=\dfrac{2}{3}h em V para obter V em função apenas de h. Primeiro calculamos r^{2}:
r^{2}=\left(\frac{2}{3}h\right)^{2}=\frac{4}{9}h^{2}.
Agora substituímos em V:
V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{4}{9}h^{2}\right)h
V=\frac{4}{27}\pi h^{3}.
Comentário: isso é ótimo porque agora temos V só em termos de h, então podemos derivar em relação ao tempo.

Passo 5

Diferenciamos ambos os lados da expressão V=\dfrac{4}{27}\pi h^{3} em relação ao tempo t. Aqui usamos duas regras de diferenciação: a regra do fator constante (constantes saem da derivada) e a regra da potência (derivada de h^{n} em relação ao tempo é n h^{n-1}\dfrac{dh}{dt}, por causa da regra da cadeia). Aplicando:
\frac{dV}{dt}=\frac{4}{27}\pi\cdot 3h^{2}\cdot\frac{dh}{dt}.
Simplificando o fator numérico \dfrac{4}{27}\cdot 3 = \dfrac{4}{9}, obtemos
\frac{dV}{dt}=\frac{4}{9}\pi h^{2}\frac{dh}{dt}.
Explicação da regra da cadeia aplicada: V é função de h e h é função de t; assim \dfrac{d}{dt}(h^{3})=3h^{2}\dfrac{dh}{dt}.

Passo 6

Isolamos \dfrac{dh}{dt} da equação anterior:
\frac{dh}{dt}=\frac{\dfrac{dV}{dt}}{\dfrac{4}{9}\pi h^{2}}.
Para ficar mais claro, podemos reorganizar:
\frac{dh}{dt}=\frac{9}{4\pi h^{2}}\cdot\frac{dV}{dt}.

Passo 7

Agora substituímos os valores numéricos dados: \dfrac{dV}{dt}=0{,}02 e h=1{,}2. Primeiro calculamos h^{2}:
h^{2}=(1{,}2)^{2}=1{,}44.
Substituindo em \dfrac{dh}{dt}=\dfrac{9}{4\pi h^{2}}\dfrac{dV}{dt}:
\frac{dh}{dt}=\frac{9}{4\pi\cdot 1{,}44}\cdot 0{,}02.
Calculando o numerador 9\cdot 0{,}02=0{,}18 e o denominador 4\cdot 1{,}44=5{,}76, obtemos
\frac{dh}{dt}=\frac{0{,}18}{5{,}76\pi}.

Passo 8

Simplificamos a fração \dfrac{0{,}18}{5{,}76}. Multiplicando numerador e denominador por 100 temos \dfrac{18}{576}. Dividindo ambos por 18 \dfrac{1}{32}. Portanto
\frac{dh}{dt}=\frac{1}{32\pi}\\ \mathrm{m/s}.
Fazendo aproximação numérica usando \pi\approx 3{,}14159,
\frac{dh}{dt}\approx 0{,}00995\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a taxa é positiva, então a profundidade do líquido está aumentando, como esperado já que água está sendo bombeada para dentro.

Resposta

\dfrac{1}{32\pi}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}00995\\ \mathrm{m/s}

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