Exercício 32 (Tanque cônico enchendo). Um cone vertical (vértice para baixo) tem altura
e raio superior
. Água é bombeada a
. Quando a profundidade é
, determine a taxa de variação
.
Passo 1
O enunciado fornece um cone vertical (vértice para baixo) com altura superior
e raio superior
. Água está sendo bombeada para dentro do cone com taxa de volume
No instante considerado a profundidade (altura do líquido) é
. A pergunta é: encontrar a taxa de variação
nesse instante.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
Passo 2
Precisamos relacionar o raio da superfície do líquido
com a profundidade
, porque o volume do cone depende de
e
. Olhando para a geometria do cone, os triângulos formados por raio e altura são semelhantes, então vale a proporção
Substituindo
e
,
Explicação curta: triângulos semelhantes significam que as razões correspondentes dos lados são iguais, daí surge essa relação direta entre
e
.
Passo 3
Escrevemos a fórmula do volume de um cone em função de
e
:
Aqui
é o volume do líquido (em
),
é o raio da superfície do líquido (em
) e
é a profundidade do líquido (em
).
Passo 4
Substituímos
em
para obter
em função apenas de
. Primeiro calculamos
:
Agora substituímos em
:
Comentário: isso é ótimo porque agora temos
só em termos de
, então podemos derivar em relação ao tempo.
Passo 5
Diferenciamos ambos os lados da expressão
em relação ao tempo
. Aqui usamos duas regras de diferenciação: a regra do fator constante (constantes saem da derivada) e a regra da potência (derivada de
em relação ao tempo é
, por causa da regra da cadeia). Aplicando:
Simplificando o fator numérico
, obtemos
Explicação da regra da cadeia aplicada:
é função de
e
é função de
; assim
.
Passo 6
Isolamos
da equação anterior:
Para ficar mais claro, podemos reorganizar:
Passo 7
Agora substituímos os valores numéricos dados:
e
. Primeiro calculamos
:
Substituindo em
:
Calculando o numerador
e o denominador
, obtemos
Passo 8
Simplificamos a fração
. Multiplicando numerador e denominador por
temos
. Dividindo ambos por
dá
. Portanto
Fazendo aproximação numérica usando
,
Interpretação: a taxa é positiva, então a profundidade do líquido está aumentando, como esperado já que água está sendo bombeada para dentro.