Exercício 30
\iint_{D} \sin x d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq \sin x\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\sin x\,dA,
onde D é a região em coordenadas cartesianas definida por
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le\pi,\;0\le y\le\sin x\}.
O conteúdo envolvido é aplicação do Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em iterada e, em seguida, calcular integrais simples.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever a integral como
\iint_{D}\sin x\,dA =\int_{x=0}^{\pi}\Bigl(\int_{y=0}^{\sin x}\sin x\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

Como \sin x não depende de y, a integral interna em y é
\int_{y=0}^{\sin x}\sin x\,dy =\sin x\int_{0}^{\sin x}dy =\sin x\cdot(\sin x) =\sin^{2}x.

Passo 4

A integral dupla fica reduzida à integral em x:
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx.

Passo 5

Usamos a identidade
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2},
então
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx =\frac12\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\cos(2x)\bigr)\,dx.

Passo 6

Calculando:
\frac12\int_{0}^{\pi}(1-\cos(2x))\,dx =\frac12\Bigl[x-\frac{\sin(2x)}{2}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac12\bigl(\pi-0\bigr) =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

Exercícios relacionados