Exercício 26

\int_{0}^{2} \int_{0}^{s} \cos \left(t^{3}\right) d t d s

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{s}\cos\bigl(t^{3}\bigr)\,dt\,ds.
O conteúdo principal aqui é a troca da ordem de integração em uma integral dupla sobre a região triangular
D=\{(s,t)\mid 0\le t\le s\le 2\}.

Passo 2

Descrevemos a mesma região D trocando as variáveis de ordem: para um dado t variando de 0 a 2, o parâmetro s varia de s=t até s=2. Assim, pela Fubini,
\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{s}\cos\bigl(t^{3}\bigr)\,dt\,ds =\int_{t=0}^{2}\!\int_{s=t}^{2}\cos\bigl(t^{3}\bigr)\,ds\,dt.

Passo 3

Na integral interna \displaystyle\int_{s=t}^{2}\cos\bigl(t^{3}\bigr)\,ds, o integrando não depende de s, logo
\int_{s=t}^{2}\cos\bigl(t^{3}\bigr)\,ds =(2-t)\,\cos\bigl(t^{3}\bigr).
Portanto a integral dupla fica
\int_{0}^{2}(2-t)\,\cos\bigl(t^{3}\bigr)\,dt.

Resposta

\int_{0}^{2}\int_{0}^{s}\cos\bigl(t^{3}\bigr)\,dt\,ds =\int_{0}^{2}(2-t)\,\cos\bigl(t^{3}\bigr)\,dt.

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