Exercício 7. Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}.
Como as funções x\mapsto\sqrt{1+x} e x\mapsto\sqrt[3]{1+x} são contínuas em x=1 e \sqrt{2}-1\neq0, \sqrt[3]{2}-1\neq0, podemos usar a propriedade de continuidade para avaliar o limite por substituição direta.

Passo 2

Substituindo x=1 em numerador e denominador:
\sqrt{1+1}-1=\sqrt{2}-1, \quad \sqrt[3]{1+1}-1=\sqrt[3]{2}-1.
Logo,
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1} =\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt[3]{2}-1}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt[3]{2}-1}

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