Expresse D como a região do tipo I e também como a região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras:
\iint_{D} x d A, \quad D \text { é limitada pelas curvas } y=x^{2}, y=3 xé

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D} x\,dA
onde D é a região do plano limitada pelas curvas
y = x^{2} \quad\text{e}\quad y = 3x.
Primeiro identificamos seus pontos de interseção resolvendo
x^{2} = 3x \;\;\Longrightarrow\;\; x(x-3)=0 \;\;\Longrightarrow\;\; x=0\text{ ou }x=3.
Nesses pontos temos y=0 e y=9. Em seguida vamos descrever D como região do tipo I e do tipo II e calcular a integral em cada caso.

Passo 2

Descrição de D como região do tipo I (variando x primeiro):
0 \le x \le 3, \quad x^{2} \le y \le 3x.
Nesse caso
\iint_{D} x\,dA = \int_{x=0}^{3}\!\int_{y=x^{2}}^{3x} x \,dy\,dx = \int_{0}^{3} x\bigl(3x - x^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{3} \bigl(3x^{2} - x^{3}\bigr)\,dx.
Calculando,
\int_{0}^{3} 3x^{2}\,dx = \bigl.x^{3}\bigr|_{0}^{3} =27, \quad \int_{0}^{3} x^{3}\,dx = \bigl.\tfrac{x^{4}}{4}\bigr|_{0}^{3} =\tfrac{81}{4},
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\iint_{D} x\,dA = 27 - \tfrac{81}{4} = \tfrac{27}{4}.

Passo 3

Descrição de D como região do tipo II (variando y primeiro):
0 \le y \le 9, \quad \frac{y}{3} \le x \le \sqrt{y}.
Nesse caso
\iint_{D} x\,dA = \int_{y=0}^{9}\!\int_{x=\frac{y}{3}}^{\sqrt{y}} x \,dx\,dy = \int_{0}^{9}\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{x=y/3}^{x=\sqrt{y}}\,dy = \int_{0}^{9}\Bigl(\tfrac{y}{2} - \tfrac{(y/3)^{2}}{2}\Bigr)\,dy.
Note que (y/3)^{2}/2 = y^{2}/18, então
\int_{0}^{9}\Bigl(\tfrac{y}{2} - \tfrac{y^{2}}{18}\Bigr)\,dy = \Bigl[\tfrac{y^{2}}{4} - \tfrac{y^{3}}{54}\Bigr]_{0}^{9} = \Bigl(\tfrac{81}{4} - \tfrac{729}{54}\Bigr) = \tfrac{81}{4} - \tfrac{27}{2} = \tfrac{27}{4}.

Resposta

Descrição como região tipo I:
D = \bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le3,\;x^{2}\le y\le3x\bigr\}.
Descrição como região tipo II:
D = \bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le9,\;\tfrac{y}{3}\le x\le\sqrt{y}\bigr\}.
Valor da integral:
\iint_{D} x\,dA = \tfrac{27}{4}.

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