Exercício 30. (IME) Considere uma esfera inscrita e tangente à base de um cone de revolução. Um cilindro está circunscrito à esfera de tal forma que uma de suas bases está apoiada na base do cone. Seja:
o volume do cone e
o volume do cilindro. Encontre o menor valor da constante
para o qual
. Sugestão: Considere o ângulo formado pelo diâmetro da base e a geratriz do cone em uma das extremidades deste diâmetro.
Passo 1
O enunciado fala de um cone de revolução com base de raio
e altura
, no qual está inscrita uma esfera de raio
que é tangente à base do cone e às suas geratrizes. Em seguida, há um cilindro circunscrito a essa esfera — ou seja, de raio
e altura
— cuja base fica apoiada no mesmo plano da base do cone. Denotamos por
e queremos achar o menor valor de
tal que
A sugestão é usar o ângulo
formado entre o diâmetro da base (numa de suas extremidades) e a geratriz do cone partindo desse mesmo ponto.
Passo 2
Escolhendo coordenadas, seja o ponto da base em
, o centro da base em
e o vértice do cone em
. A geratriz é o vetor
e o diâmetro que vai de
a
é o vetor
Dessa forma, o cosseno do ângulo
entre eles é
e
Passo 3
A esfera inscrita tangencia a base e as laterais do cone, o que leva à fórmula clássica do raio
da esfera inscrita:
Em vez de usar essa forma, expressamos
em função de
. Como
e
, temos
Invertendo,
Agora o volume do cone é
e o cilindro tem
Logo a razão é
Chamando isso de
, temos
Passo 4
Para minimizar
, substituímos
e
, obtendo
Bastou então derivar em relação a
e anular:
Passo 5
Substituindo
em
:
Resposta
O menor valor de
é
.