Exercício 30. (IME) Considere uma esfera inscrita e tangente à base de um cone de revolução. Um cilindro está circunscrito à esfera de tal forma que uma de suas bases está apoiada na base do cone. Seja: V_{1} o volume do cone e V_{2} o volume do cilindro. Encontre o menor valor da constante k para o qual V_{1}=k V_{2}. Sugestão: Considere o ângulo formado pelo diâmetro da base e a geratriz do cone em uma das extremidades deste diâmetro.

Passo 1

O enunciado fala de um cone de revolução com base de raio a e altura H, no qual está inscrita uma esfera de raio r que é tangente à base do cone e às suas geratrizes. Em seguida, há um cilindro circunscrito a essa esfera — ou seja, de raio r e altura 2r — cuja base fica apoiada no mesmo plano da base do cone. Denotamos por
V_{1} = \text{vol}\,\text{(cone)}, \quad V_{2} = \text{vol}\,\text{(cilindro)},
e queremos achar o menor valor de k tal que
V_{1} = k\,V_{2}.
A sugestão é usar o ângulo \varphi formado entre o diâmetro da base (numa de suas extremidades) e a geratriz do cone partindo desse mesmo ponto.

Passo 2

Escolhendo coordenadas, seja o ponto da base em (a,0,0), o centro da base em (0,0,0) e o vértice do cone em (0,0,H). A geratriz é o vetor
\bigl(-a,0,H\bigr),
e o diâmetro que vai de (a,0,0) a (-a,0,0) é o vetor
\bigl(-2a,0,0\bigr).
Dessa forma, o cosseno do ângulo \varphi entre eles é
\cos\varphi = \frac{(-2a,0,0)\cdot(-a,0,H)} {\lvert(-2a,0,0)\rvert\;\lvert(-a,0,H)\rvert} = \frac{2a^2}{2a\,\sqrt{a^2+H^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2+H^2}},
e
\sin\varphi = \frac{H}{\sqrt{a^2+H^2}}.

Passo 3

A esfera inscrita tangencia a base e as laterais do cone, o que leva à fórmula clássica do raio r da esfera inscrita:
r = \frac{a\,H}{a + \sqrt{a^2+H^2}}.
Em vez de usar essa forma, expressamos r em função de \varphi. Como \sqrt{a^2+H^2}=a/\cos\varphi e H = \sqrt{a^2+H^2}\,\sin\varphi, temos
r = \frac{a\bigl(\tfrac{a}{\cos\varphi}\sin\varphi\bigr)} {\,a + \tfrac{a}{\cos\varphi}\!} = \frac{a\sin\varphi}{1+\cos\varphi}.
Invertendo,
a = r\,\frac{1+\cos\varphi}{\sin\varphi}, \quad H = a\tan\varphi = r\,\frac{1+\cos\varphi}{\cos\varphi}.
Agora o volume do cone é
V_{1} = \frac{\pi}{3}\,a^2\,H = \frac{\pi}{3}\, r^3\, \frac{(1+\cos\varphi)^3}{\sin^2\varphi\;\cos\varphi},
e o cilindro tem
V_{2} = \pi\,r^2\,(2r) = 2\pi\,r^3.
Logo a razão é
\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\tfrac{\pi}{3}\,r^3\,\tfrac{(1+\cos\varphi)^3}{\sin^2\varphi\cos\varphi}} {2\pi\,r^3} = \frac{(1+\cos\varphi)^3}{6\,\sin^2\varphi\,\cos\varphi}.
Chamando isso de k(\varphi), temos
k(\varphi) = \frac{(1+\cos\varphi)^3}{6\,\sin^2\varphi\,\cos\varphi}.

Passo 4

Para minimizar k(\varphi), substituímos u=\cos\varphi\in(0,1) e \sin^2\varphi=1-u^2, obtendo
k(u) = \frac{(1+u)^3}{6\,u\,(1-u^2)} = \frac{(1+u)^2}{6\,u\,(1-u)}.
Bastou então derivar em relação a u e anular:
\frac{d}{du}\Bigl[(1+u)^2/(u(1-u))\Bigr]=0 \;\Longrightarrow\; u = \frac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo u=1/3 em k(u):
k_{\min} = \frac{(1+\tfrac13)^2}{6\,(\tfrac13)\,(1-\tfrac13)} = \frac{(\tfrac43)^2}{6\cdot\tfrac13\cdot\tfrac23} = \frac{\tfrac{16}{9}}{6\cdot\tfrac{2}{9}} = \frac{16}{9}\cdot\frac{9}{12} = \frac{4}{3}.

Resposta

O menor valor de k é \displaystyle \frac{4}{3}.

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