Exercício 24. (IME) As arestas laterais de uma pirâmide regular com
faces têm medida l. Determine:
(a) a expressão do raio do círculo circunscrito à base, em função de
, de modo que o produto do volume da pirâmide pela sua altura seja máximo.
(b) a expressão desse produto máximo, em função de l e
.
(a) a expressão do raio do círculo circunscrito à base, em função de
(b) a expressão desse produto máximo, em função de l e
Passo 1
O enunciado considera uma pirâmide regular de base um polígono regular de
lados, inscrito num círculo de raio
, e com arestas laterais de comprimento
. Queremos achar, em função de
, o valor de
que maximiza o produto do volume
pela altura
da pirâmide, e depois calcular esse valor máximo em função de
e
.
Passo 2
Pela geometria da pirâmide, cada aresta lateral forma um triângulo retângulo de catetos
e
, logo
e portanto
Passo 3
A área da base, sendo polígono regular de
lados e apótema
no círculo circunscrito, é
Assim o volume é
Passo 4
O produto que queremos otimizar é
Passo 5
Para maximizar
em
, basta maximizar
Calculando
e igualando a zero, obtemos
ou
. Tomando a solução positiva não-trivial,
Passo 6
Substituindo
em
, temos
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)