Exercício 24. (IME) As arestas laterais de uma pirâmide regular com n faces têm medida l. Determine:
(a) a expressão do raio do círculo circunscrito à base, em função de l, de modo que o produto do volume da pirâmide pela sua altura seja máximo.
(b) a expressão desse produto máximo, em função de l e n.

Passo 1

O enunciado considera uma pirâmide regular de base um polígono regular de n lados, inscrito num círculo de raio R, e com arestas laterais de comprimento l. Queremos achar, em função de l, o valor de R que maximiza o produto do volume V pela altura h da pirâmide, e depois calcular esse valor máximo em função de l e n.

Passo 2

Pela geometria da pirâmide, cada aresta lateral forma um triângulo retângulo de catetos R e h, logo
l^2 = R^2 + h^2
e portanto
h = \sqrt{\,l^2 - R^2\,}\,.

Passo 3

A área da base, sendo polígono regular de n lados e apótema R no círculo circunscrito, é
\text{Área}_{\text{base}} =\frac{n}{2}R^2\sin\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr).Á
Assim o volume é
V = \frac{1}{3}\,\text{Área}_{\text{base}}\;h =\frac{n}{6}\,R^2\sin\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr)\,\sqrt{\,l^2 - R^2\,}\,.Á

Passo 4

O produto que queremos otimizar é
P(R)=V\cdot h =\frac{n}{6}\,R^2\sin\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr)\;\bigl(\sqrt{\,l^2 - R^2\,}\bigr)^2 =\frac{n}{6}\,\sin\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr)\;R^2\,(l^2 - R^2).

Passo 5

Para maximizar P(R) em 0<R<l, basta maximizar
f(R)=R^2(l^2 - R^2)=l^2R^2 - R^4.
Calculando f'(R)=2l^2R -4R^3=2R(l^2-2R^2) e igualando a zero, obtemos R=0 ou R^2=\tfrac{l^2}{2}. Tomando a solução positiva não-trivial,
R = \frac{l}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Substituindo R^2=\tfrac{l^2}{2} em P(R), temos
P_{\max} =\frac{n}{6}\,\sin\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr)\; \Bigl(\frac{l^2}{2}\Bigr)\Bigl(l^2-\frac{l^2}{2}\Bigr) =\frac{n}{6}\,\sin\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr)\;\frac{l^2}{2}\;\frac{l^2}{2} =\frac{n\,l^4}{24}\,\sin\Bigl(\frac{2\pi}{n}\Bigr).

Resposta

(a) \displaystyle R = \frac{l}{\sqrt{2}}.
(b) \displaystyle (V\cdot h)_{\max} = \frac{n\,l^4}{24}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi}{n}\Bigr).

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