Exercício 32. (a) Quais as indeterminações que você pode tentar manipular e depois usar a regra de L’Hôpital para resolver o limite?
(b) Em quais indeterminações se pode aplicar a regra de L’Hôpital diretamente sem nenhuma manipulação anterior na função.
(c) A regra de L’Hôpital pode ser usada para calcular \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)}{\operatorname{sen}(x)} ?
(d) De um exemplo de resolução utilizando L’Hôpital para cada uma das indeterminações do item (a)

Passo 1

O enunciado trata da aplicação da regra de L’Hôpital em limites e pede:
(a) quais indeterminações podemos manipular e depois usar L’Hôpital;
(b) quais indeterminações aceitam L’Hôpital direto;
(c) se dá para usar L’Hôpital em \lim_{x\to0}\frac{\cos(x)}{\sin(x)};
(d) um exemplo de cálculo por L’Hôpital para cada indeterminação de (a).

Passo 2

As indeterminações que não são \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty} mas podem ser convertidas a uma dessas para usar L’Hôpital são:
0\cdot\infty (ex.: x\ln x em x\to0^+),
\infty - \infty (ex.: \tfrac1x-\tfrac1{\sin x} em x\to0),
1^{\infty} (ex.: (1+\tfrac1x)^x em x\to\infty),
0^0 (ex.: x^x em x\to0^+),
\infty^0 (ex.: x^{1/x} em x\to\infty).

Passo 3

As indeterminações em que se pode aplicar L’Hôpital direto, sem reescrever nada, são somente
\tfrac{0}{0} \quad\text{e}\quad \tfrac{\infty}{\infty}\,.

Passo 4

Em \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)}{\sin(x)} o numerador vai a \cos(0)=1 e o denominador a \sin(0)=0. Logo não é \tfrac{0}{0} nem \tfrac{\infty}{\infty}, mas \tfrac{1}{0}, e a regra de L’Hôpital não se aplica.

Passo 5

Exemplo 0\cdot\infty:
\lim_{x\to0^+}x\ln(x).
Reescreva
x\ln(x)=\frac{\ln(x)}{1/x},
que é \tfrac{-\infty}{\infty}. Aplique L’Hôpital:
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(x)}{1/x} =\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{d}{dx}\ln(x)}{\frac{d}{dx}(1/x)} =\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} =\lim_{x\to0^+}(-x)=0.

Passo 6

Exemplo \infty-\infty:
\lim_{x\to0}\Bigl(\tfrac1x-\tfrac1{\sin x}\Bigr).
Junte em um só quociente:
\frac{\sin x - x}{x\sin x},
que é \tfrac{0}{0}. Aplique L’Hôpital duas vezes:
1ª vez:
\frac{\cos x-1}{\sin x + x\cos x}\;\xrightarrow{x\to0}\;\tfrac{0}{0},
2ª vez:
\frac{-\sin x}{\cos x +\cos x - x\sin x} =\frac{-\sin x}{2\cos x - x\sin x} \;\xrightarrow{x\to0}\;0.

Passo 7

Exemplo 1^{\infty}:
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)^x.
Seja y=(1+1/x)^x. Então
\ln y =x\ln\bigl(1+\tfrac1x\bigr),
que é \infty\cdot0. Reescreva
x\ln\bigl(1+\tfrac1x\bigr) =\frac{\ln(1+1/x)}{1/x},
forma \tfrac{0}{0}. L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{-1/x^2}{1+1/x}}{-1/x^2} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+1/x}=1,
logo \ln y\to1, e y\to e.

Passo 8

Exemplo 0^0:
\lim_{x\to0^+}x^x.
Seja y=x^x. Então
\ln y = x\ln x,
que já vimos em (Passo 5) dá 0. Logo \ln y\to0 e y\to1.

Passo 9

Exemplo \infty^0:
\lim_{x\to\infty}x^{1/x}.
Seja y=x^{1/x}. Então
\ln y = \tfrac1x\ln x,
forma \tfrac{\infty}{\infty} invertida ( \infty\cdot0). Reescreva
\frac{\ln x}{x},
aplique L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} =0,
logo \ln y\to0 e y\to1.

Resposta

(a) As indeterminações que precisam de manipulação são
\,0\cdot\infty,\;\infty-\infty,\;1^{\infty},\;0^0,\;\infty^0.
(b) A regra se aplica direto apenas em \tfrac{0}{0} e \tfrac{\infty}{\infty}.
(c) Em \displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\cos(x)}{\sin(x)} surge \tfrac{1}{0}, não indeterminação, logo não se usa L’Hôpital.
(d) Exemplos dados nos Passos 5 a 9 para cada caso de (a).

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