Exercício 30. Prove por indução que para todo
:
Identifique o uso da regra da conjunção para múltiplos de 3.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Provar por indução que, para todo
, é divisível por . - Identificar onde e como se usa a “regra da conjunção” relativa a múltiplos de
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A propriedade a provar é: para todo
, . - Não há outros dados numéricos; a prova deve ser por indução.
Passo 2
Base da indução. Vou verificar a propriedade para um
inicial. Se a sua definição de
começa em
, tomo
; se começa em
, basta fazer a verificação em
. Faço as duas verificações para ficar seguro.
- Para
:
e
é múltiplo de
, porque
. Logo
.
- Para
:
novamente
é múltiplo de
. Logo
.
Portanto a base da indução está verificada.
Passo 3
Enunciando a hipótese indutiva. Suponha que, para algum
, já seja verdade que
Isto significa, por definição de divisibilidade, que existe um inteiro
tal que
Vou usar essa hipótese para mostrar que a propriedade vale para
.
Passo 4
Cálculo algébrico de
. Expando o cubo e simplifico passo a passo (mostrando cada etapa, para que dê para fazer na prova sem pular):
então
Subtraindo os termos semelhantes:
Agora reescrevo essa expressão de um jeito útil para usar a hipótese indutiva:
E fatorando
no segundo termo:
Ou de forma ainda mais factorizada:
Passo 5
Aplicando a hipótese indutiva e as regras de divisibilidade (a parte didática importante aqui).
-
Pela hipótese indutiva,
para algum inteiro . Logo o termo é múltiplo de . -
O outro termo
tem claramente um fator , então é múltiplo de : existe um inteiro (por exemplo ) tal que .
Agora uso duas propriedades básicas de divisibilidade que preciso explicar bem:
-
Regra multiplicativa simples: se
divide então divide para qualquer inteiro . Aqui isso justifica que divide porque divide o fator . -
Regra da conjunção (soma de múltiplos): se
divide e divide , então divide . A explicação é: se e então , que é múltiplo de .
Aplico a regra da conjunção ao caso concreto: como
divide
e também divide
, então
divide a soma
Portanto
. Isso completa o passo indutivo.
Passo 6
Conclusão da indução. Mostramos a base (Passo 2) e mostramos que a hipótese para
implica a propriedade para
(Passos 3–5). Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo
: para todo
,
.
Para fixar a ideia, alguns exemplos numéricos rápidos:
-
: , e é múltiplo de . -
: , e é múltiplo de .
Esses exemplos ilustram o que a prova generalizou.
Passo 7
Identificação explícita do uso da “regra da conjunção” para múltiplos de
: ela foi usada exatamente quando, a partir de saber que
(hipótese indutiva) e que
(fator
explícito), se concluiu que
Ou seja, foi usada a propriedade: "se
divide
e
divide
, então
divide
".