Exercício 30. Prove por indução que para todo n \in \mathbb{N} :
n^{3}-n \text { é divisível por } 3éí
Identifique o uso da regra da conjunção para múltiplos de 3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Provar por indução que, para todo n \in \mathbb{N}, n^{3}-n é divisível por 3.
  • Identificar onde e como se usa a “regra da conjunção” relativa a múltiplos de 3.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A propriedade a provar é: para todo n\in\mathbb{N}, 3 \mid \bigl(n^{3}-n\bigr).
  • Não há outros dados numéricos; a prova deve ser por indução.

Passo 2

Base da indução. Vou verificar a propriedade para um n inicial. Se a sua definição de \mathbb{N} começa em 0, tomo n=0; se começa em 1, basta fazer a verificação em n=1. Faço as duas verificações para ficar seguro.
  • Para n=0:
0^{3}-0=0,
e 0 é múltiplo de 3, porque 0=3\cdot 0. Logo 3\mid 0^{3}-0.
  • Para n=1:
1^{3}-1=0,
novamente 0 é múltiplo de 3. Logo 3\mid 1^{3}-1.
Portanto a base da indução está verificada.

Passo 3

Enunciando a hipótese indutiva. Suponha que, para algum k\in\mathbb{N}, já seja verdade que
3 \mid \bigl(k^{3}-k\bigr).
Isto significa, por definição de divisibilidade, que existe um inteiro m tal que
k^{3}-k=3m.
Vou usar essa hipótese para mostrar que a propriedade vale para k+1.

Passo 4

Cálculo algébrico de (k+1)^{3}-(k+1). Expando o cubo e simplifico passo a passo (mostrando cada etapa, para que dê para fazer na prova sem pular):
(k+1)^{3}=(k+1)(k+1)(k+1)=k^{3}+3k^{2}+3k+1,
então
(k+1)^{3}-(k+1)=\bigl(k^{3}+3k^{2}+3k+1\bigr)-(k+1).
Subtraindo os termos semelhantes:
(k+1)^{3}-(k+1)=k^{3}+3k^{2}+2k.
Agora reescrevo essa expressão de um jeito útil para usar a hipótese indutiva:
k^{3}+3k^{2}+2k=(k^{3}-k)+3k^{2}+3k.
E fatorando 3 no segundo termo:
(k+1)^{3}-(k+1)=(k^{3}-k)+3\bigl(k^{2}+k\bigr).
Ou de forma ainda mais factorizada:
(k+1)^{3}-(k+1)=(k^{3}-k)+3k(k+1).

Passo 5

Aplicando a hipótese indutiva e as regras de divisibilidade (a parte didática importante aqui).
  • Pela hipótese indutiva, k^{3}-k=3m para algum inteiro m. Logo o termo (k^{3}-k) é múltiplo de 3.
  • O outro termo 3k(k+1) tem claramente um fator 3, então é múltiplo de 3: existe um inteiro t (por exemplo t=k(k+1)) tal que 3k(k+1)=3t.
Agora uso duas propriedades básicas de divisibilidade que preciso explicar bem:
  1. Regra multiplicativa simples: se d divide a então d divide a\cdot b para qualquer inteiro b. Aqui isso justifica que 3 divide 3k(k+1) porque 3 divide o fator 3.
  2. Regra da conjunção (soma de múltiplos): se d divide a e d divide b, então d divide a+b. A explicação é: se a= d\cdot u e b=d\cdot v então a+b=d(u+v), que é múltiplo de d.
Aplico a regra da conjunção ao caso concreto: como 3 divide (k^{3}-k) e também divide 3k(k+1), então 3 divide a soma
(k^{3}-k)+3k(k+1)=(k+1)^{3}-(k+1).
Portanto 3\mid\bigl((k+1)^{3}-(k+1)\bigr). Isso completa o passo indutivo.

Passo 6

Conclusão da indução. Mostramos a base (Passo 2) e mostramos que a hipótese para k implica a propriedade para k+1 (Passos 3–5). Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}: para todo n, 3\mid\bigl(n^{3}-n\bigr).
Para fixar a ideia, alguns exemplos numéricos rápidos:
  • n=2: 2^{3}-2=8-2=6, e 6 é múltiplo de 3.
  • n=3: 3^{3}-3=27-3=24, e 24 é múltiplo de 3.
    Esses exemplos ilustram o que a prova generalizou.

Passo 7

Identificação explícita do uso da “regra da conjunção” para múltiplos de 3: ela foi usada exatamente quando, a partir de saber que 3\mid(k^{3}-k) (hipótese indutiva) e que 3\mid 3k(k+1) (fator 3 explícito), se concluiu que
3\mid\bigl((k^{3}-k)+3k(k+1)\bigr)= (k+1)^{3}-(k+1).
Ou seja, foi usada a propriedade: "se 3 divide a e 3 divide b, então 3 divide a+b".

Resposta

3\mid n^{3}-n para todo n\in\mathbb{N}.\nA regra da conjunção foi usada ao concluir que, como 3\mid(k^{3}-k) e 3\mid 3k(k+1), então 3\mid\bigl((k^{3}-k)+3k(k+1)\bigr)=(k+1)^{3}-(k+1).

Exercícios relacionados