Exercício 4.29 Encontre as assíntotas dos gráficos das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assíntotas do gráfico da função
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}}
Consideramos domínio máximo em \mathbb{R}, o que envolve assíntota vertical (quando o denominador zera) e assímptota oblíqua ou horizontal (quando x\to\pm\infty).

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio: o denominador x^{2} não pode ser zero. Logo
\text{Domínio}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.í
Para x\to0^{+} ou x\to0^{-}, o termo dominante é \frac{1}{x^{2}}\to+\infty. Portanto, há assíntota vertical em x=0.

Passo 3

Agora, buscamos a assíntota em x\to\pm\infty. Fazemos divisão de polinômios:
\frac{x^{3}+1}{x^{2}}=x+\frac{1}{x^{2}}.
O quociente é x e o resto \tfrac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Como \frac{1}{x^{2}}\to0 quando x\to\pm\infty, a curva se aproxima da reta y=x. Não há assíntota horizontal distinta, pois o grau do numerador excede o do denominador.

Resposta

Assíntota vertical: x=0
Assíntota oblíqua: y=x

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