Exercício 6 (D.L.5.30)
Sejam
e
matrizes tais que
é simétrica com todos os autovalores negativos e
é antissimétrica, isto é,
. Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio estável para o sistema linear
em
usando para isto a função de Liapunov
.
(Dica: Use o seguinte fato: Se
é simétrica, existe
tal que
diagonal e
)
Sejam
(Dica: Use o seguinte fato: Se
Passo 1
O enunciado considera o sistema linear em
onde
é simétrica com todos os autovalores
e
é antissimétrica (
). Queremos mostrar que a origem é um ponto de equilíbrio estável usando a função de Liapunov
Para isso vamos (i) diagonalizar
por semelhança ortogonal, (ii) passar a variáveis em que
fica diagonal e
continua antissimétrica, (iii) calcular
e usar que os termos de
não contribuem.
Passo 2
Como
é simétrica real, existe
ortogonal (
) tal que
onde
e cada
.
Passo 3
Definimos a mudança de variáveis
Então
onde
.
Passo 4
Como
e
é ortogonal, temos
ou seja,
também é antissimétrica. Além disso, em coordenadas
,
Passo 5
Diferenciando
ao longo das soluções,
Mas
pela antissimetria de
. Logo
onde
. Portanto
para todo
.
Passo 6
Como
é positiva definida e
é negativa definida, pelo teorema de Liapunov a origem é um ponto de equilíbrio estável (na verdade, assintoticamente estável) do sistema.
Resposta
A origem é um ponto de equilíbrio estável para
.