Exercício 6 (D.L.5.30)
Sejam A e B matrizes tais que A é simétrica com todos os autovalores negativos e B é antissimétrica, isto é, B^*=-B. Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio estável para o sistema linear x^prime=(A+B) x em R^n usando para isto a função de Liapunov V(x)=lang<= x, xrang<==x1^2+ldots+xn^2.
(Dica: Use o seguinte fato: Se A é simétrica, existe P in Mn(R) tal que P^-1 A P=D, D diagonal e P^*=P^-1 )

Passo 1

O enunciado considera o sistema linear em R^n
x' = (A+B),x
onde A é simétrica com todos os autovalores lambdai<0 e B é antissimétrica ( B^*=-B). Queremos mostrar que a origem é um ponto de equilíbrio estável usando a função de Liapunov
V(x)=lang<= x,xrang<==x1^2+cdots+xn^2
Para isso vamos (i) diagonalizar A por semelhança ortogonal, (ii) passar a variáveis em que A fica diagonal e B continua antissimétrica, (iii) calcular dot V e usar que os termos de B não contribuem.

Passo 2

Como A é simétrica real, existe Pin Mn(R) ortogonal ( P^*=P^-1) tal que
P^-1,A,P = D,
onde D=diag(lambda1,dots,lambdan) e cada lambdai<0.

Passo 3

Definimos a mudança de variáveis
y = P^-1 x
Então
y' = P^-1x' = P^-1(A+B)x = (P^-1AP),y + (P^-1BP),y = D,y + C,y,
onde C = P^-1BP.

Passo 4

Como B^*=-B e P é ortogonal, temos
C^* = (P^-1BP)^* = P^*,B^* (P^-1)^* = P^-1(-B)P = -,C,
ou seja, C também é antissimétrica. Além disso, em coordenadas y,
V(x)=lang<= x,xrang<= = lang<= Py,Pyrang<= = lang<= y,yrang<=

Passo 5

Diferenciando V ao longo das soluções,
dot V = 2,lang<= y,,y'rang<= = 2,lang<= y,,(D+C),yrang<= =2,lang<= y,D,yrang<= + 2,lang<= y,C,yrang<=
Mas lang<= y,C,yrang<==0 pela antissimetria de C. Logo
dot V = 2sumi=1^n lambdai,yi^2 <= 2,lambdamaxsumi=1^n yi^2 =2,lambdamax,V,
onde lambdamax<0. Portanto dot V(x)<0 para todo xneq0.

Passo 6

Como V é positiva definida e dot V é negativa definida, pelo teorema de Liapunov a origem é um ponto de equilíbrio estável (na verdade, assintoticamente estável) do sistema.

Resposta

A origem é um ponto de equilíbrio estável para x'=(A+B)x.

Exercícios relacionados