Exercício 5 (S.5.1)
Prove que a origem é um ponto singular assintoticamente estável do sistema
c x^prime=-x-x^33-2 sen(y) y^prime=-y-y^33
Faça de duas maneiras: Achando os autovalores de D f(0) e achando uma função de Liapunov apropriada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a origem é um ponto singular assintoticamente estável do sistema
x'=-x-tfracx^33-2sin(y), y'=-y-tfracy^33,
usando (i) análise linear pelos autovalores de Df(0) e (ii) construindo uma função de Lyapunov adequada.

Passo 2

Primeiro obtemos a matriz jacobiana em um ponto genrico (x,y):
Df(x,y) = partialpartial x(-x-tfracx^33-2sin y) & partialpartial y(-x-tfracx^33-2sin y)[6pt] partialpartial x(-y-tfracy^33) & partialpartial y(-y-tfracy^33) = -1 - x^2 & -2cos y 0 & -1 - y^2
Em (0,0) isso vira
Df(0,0)=-1 & -20 & -1 ]

Passo 3

Os autovalores de Df(0,0) são as raízes de
detl(Df(0,0)-lambda Ir) =det-1-lambda & -20 & -1-lambda =( -1-lambda )^2=0
Logo lambda1=lambda2=-1, ambos reais e negativos. Isso mostra que a origem é um nó assintoticamente estável na análise linear.

Passo 4

Agora escolhemos a função de Lyapunov candidata
V(x,y)=tfrac12,x^2+tfrac12,y^2
Note que V(0,0)=0 e V(x,y)>0 para todo (x,y)neq(0,0), ou seja, V é positiva definida.

Passo 5

Calculamos a derivada de V ao longo das soluções:
dot V =x,x'+y,y' =xl(-x-tfracx^33-2sin yr) +yl(-y-tfracy^33r)
Distribuindo,
dot V =-x^2-tfracx^43-2xsin y;-;y^2-tfracy^43

Passo 6

Para estimar dot V, usamos |sin y|<= |y|. Assim
-2xsin y<= 2|x|,|sin y|<= 2|x|,|y|<= x^2+y^2
Então
dot V <= l(-x^2-y^2r)+l(x^2+y^2r) -tfracx^43-tfracy^43 =-tfracx^43-tfracy^43<= 0,
com igualdade apenas em (x,y)=(0,0). Portanto dot V é negativa definida.

Passo 7

Como V é positiva definida, radicialmente não decrescente e dot V é negativa definida, pelas condições de Lyapunov a origem é globalmente assintoticamente estável.

Resposta

A origem é assintoticamente estável, tanto pela análise dos autovalores de Df(0,0) quanto pela construção da função de Lyapunov.

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