Logo lambda1=lambda2=-1, ambos reais e negativos. Isso mostra que a origem é um nó assintoticamente estável na análise linear.
Passo 4
Agora escolhemos a função de Lyapunov candidata
V(x,y)=tfrac12,x^2+tfrac12,y^2
Note que V(0,0)=0 e V(x,y)>0 para todo (x,y)neq(0,0), ou seja, V é positiva definida.
Passo 5
Calculamos a derivada de V ao longo das soluções:
dot V =x,x'+y,y' =xl(-x-tfracx^33-2sin yr) +yl(-y-tfracy^33r)
Distribuindo,
dot V =-x^2-tfracx^43-2xsin y;-;y^2-tfracy^43
Passo 6
Para estimar dot V, usamos |sin y|<= |y|. Assim
-2xsin y<= 2|x|,|sin y|<= 2|x|,|y|<= x^2+y^2
Então
dot V <= l(-x^2-y^2r)+l(x^2+y^2r) -tfracx^43-tfracy^43 =-tfracx^43-tfracy^43<= 0,
com igualdade apenas em (x,y)=(0,0). Portanto dot V é negativa definida.
Passo 7
Como V é positiva definida, radicialmente não decrescente e dot V é negativa definida, pelas condições de Lyapunov a origem é globalmente assintoticamente estável.
Resposta
A origem é assintoticamente estável, tanto pela análise dos autovalores de Df(0,0) quanto pela construção da função de Lyapunov.