Exercício 32. Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição triangular no intervalo [0,1] se sua densidade é dada por:
f(x)=cc c x & se 0 <= x <= 1 / 2 c(1-x) x & se 1 / 2á
Determine:
(a) o valor de c.
(b) Esboce o gráfico de f(x).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável contínua em [0,1] com densidade
f(x)= c,x, & 0<= x<= tfrac12, c,(1-x),x, & tfrac12á
Isso cai em “densidade de probabilidade” e a regra chave é que a área total sob deve ser 1. Precisamos então (a) achar o que normaliza a área e (b) desenhar o gráfico dessa função em pedaços.

Passo 2

Aplicamos
integral0^1 f(x),dx = 1
Ou seja
integral0^1/2 c,x,dx ;+;integral1/2^1 c,x(1-x),dx ;=;1
  1. Primeiro pedaço:
integral0^1/2 x,dx = [x^22]0^1/2 = (1/2)^22 = 18
  1. Segundo pedaço:
integral1/2^1 l(x - x^2r),dx = l[x^22-x^33r]1/2^1 = l(12-13r) - l((1/2)^22-(1/2)^33r) = 16 - l(tfrac18-tfrac124r) = 112
Somando:
cl(tfrac18 + tfrac112r) = c,524 = 1 Longrightarrow c = 245

Passo 3

Agora o esboço, lembrando que é função peça-por-peça:
  1. De até :
    é uma reta que sai de e chega em
    .
  2. De até :
    é uma parábola côncava para baixo.
    • Em vale .
    • Em zera: .
Então o gráfico é uma reta subindo até , depois “cai” seguindo a parábola até chegar em .

Resposta

a)
b) Gráfico peça-por-peça:
  • Para , reta .
  • Para , parábola , que sai de e vai a .

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