\vec{r}\,'(t) é a derivada de \vec{r}(t) em relação a t. Derivar uma função vetorial significa derivar cada componente separadamente.
\big\lVert \vec{v}\big\rVert é a norma (módulo) do vetor \vec{v}. Para um vetor \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), a norma é \big\lVert \vec{v}\big\rVert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
A integral \int_a^b \big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert\,dt soma infinitesimalmente os pequenos segmentos de comprimento \big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert\,dt ao longo da curva — é a definição padrão de comprimento de curva.
Passo 3
Derivar componente a componente \vec{r}(t)=(3\cos 2t,\;3\operatorname{sen}2t,\;6t).
Derivada de 3\cos 2t: usar regra cadeia. Se u(t)=\cos 2t então u'(t)=-\sin 2t\cdot(2). Logo
Interpretação geométrica (ajuda a fixar a ideia): a curva é uma hélice de raio 3 (porque as primeiras duas componentes descrevem um círculo de raio 3) e altura total percorrida em t\in[0,\pi] é \Delta z = 6\pi (pois z=6t). Em t\in[0,\pi] o ângulo no plano xy é 2t, que varia de 0 a 2\pi, ou seja, uma volta completa. A fórmula geométrica do comprimento de uma volta de hélice é