Exercício 3.31.
Calcule o comprimento da curva entre \vec{r}(0) e \vec{r}(\pi), onde
\vec{r}(t)=(3 \cos 2 t, 3 \operatorname{sen} 2 t, 6 t)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento da curva entre \vec{r}(0) e \vec{r}(\pi), onde está dada a curva paramétrica
\vec{r}(t)=(3\cos 2t,\;3\operatorname{sen}2t,\;6t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é dada por \vec{r}(t) para t entre 0 e \pi.
  • Os pontos inicial e final são \vec{r}(0) e \vec{r}(\pi).
  • O objetivo é calcular o comprimento (arco) da curva no intervalo t\in[0,\pi].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): o comprimento de arco de uma curva dada por uma função vetorial \vec{r}(t), para t variando de a a b, é
L=\int_a^b \big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert\,dt.
Explicando essa fórmula passo a passo:
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada de \vec{r}(t) em relação a t. Derivar uma função vetorial significa derivar cada componente separadamente.
  • \big\lVert \vec{v}\big\rVert é a norma (módulo) do vetor \vec{v}. Para um vetor \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), a norma é \big\lVert \vec{v}\big\rVert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
  • A integral \int_a^b \big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert\,dt soma infinitesimalmente os pequenos segmentos de comprimento \big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert\,dt ao longo da curva — é a definição padrão de comprimento de curva.

Passo 3

Derivar componente a componente \vec{r}(t)=(3\cos 2t,\;3\operatorname{sen}2t,\;6t).
  • Derivada de 3\cos 2t: usar regra cadeia. Se u(t)=\cos 2t então u'(t)=-\sin 2t\cdot(2). Logo
\frac{d}{dt}\big(3\cos 2t\big) = 3\cdot(-2\sin 2t) = -6\sin 2t.
  • Derivada de 3\operatorname{sen}2t: regra cadeia similar. Como \operatorname{sen} é seno, tem-se
\frac{d}{dt}\big(3\operatorname{sen}2t\big) = 3\cdot(2\cos 2t) = 6\cos 2t.
  • Derivada de 6t é 6.
Portanto
\vec{r}\,'(t)=(-6\sin 2t,\;6\cos 2t,\;6).

Passo 4

Calcular a norma \big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert. Pelo definição,
\big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert=\sqrt{(-6\sin 2t)^2+(6\cos 2t)^2+6^2}.
Agora desenvolve as potências:
(-6\sin 2t)^2=36\sin^2 2t,\qquad (6\cos 2t)^2=36\cos^2 2t,\qquad 6^2=36.
Somando,
\big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert=\sqrt{36\sin^2 2t+36\cos^2 2t+36}.

Passo 5

Usar a identidade trigonométrica fundamental \sin^2\theta+\cos^2\theta=1. Aplicando com \theta=2t,
36\sin^2 2t+36\cos^2 2t = 36(\sin^2 2t+\cos^2 2t)=36\cdot 1 =36.
Portanto dentro da raiz ficamos com 36+36=72. Assim
\big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert=\sqrt{72}=6\sqrt{2}.
Observe que a norma é uma constante (não depende de t). Isso simplifica muito a integral do comprimento.

Passo 6

Calcular o comprimento usando a fórmula da Passo 2 com a=0 e b=\pi:
L=\int_0^\pi \big\lVert \vec{r}\,'(t)\big\rVert\,dt=\int_0^\pi 6\sqrt{2}\,dt.
Como 6\sqrt{2} é constante em relação a t, a integral é direta:
L=6\sqrt{2}\int_0^\pi dt = 6\sqrt{2}\,[t]_0^\pi = 6\sqrt{2}\,\pi.

Passo 7

Interpretação geométrica (ajuda a fixar a ideia): a curva é uma hélice de raio 3 (porque as primeiras duas componentes descrevem um círculo de raio 3) e altura total percorrida em t\in[0,\pi] é \Delta z = 6\pi (pois z=6t). Em t\in[0,\pi] o ângulo no plano xy é 2t, que varia de 0 a 2\pi, ou seja, uma volta completa. A fórmula geométrica do comprimento de uma volta de hélice é
L=\sqrt{(\text{circunferência})^2+(\text{altura})^2} =\sqrt{(2\pi R)^2+(\Delta z)^2}.ê
Com R=3 e \Delta z=6\pi tem-se
L=\sqrt{(6\pi)^2+(6\pi)^2}=6\pi\sqrt{2},
que coincide com o resultado obtido pela integral (boa verificação).

Resposta

6\sqrt{2}\pi

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