Exercício 3.33. Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva e o vetor unitário tangente
dado pelas equações paramétricas abaixo, no ponto dado:
no ponto $\quad(-\pi, 3 \pi, 0).
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas da curva e pede duas coisas no ponto indicado:
- Curva:
- Ponto pedido:
.
As perguntas que devemos responder:
- Encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva nesse ponto.
- Encontrar o vetor unitário tangente
no mesmo ponto.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As três coordenadas da curva estão expressas em função do mesmo parâmetro
. - O ponto
deve corresponder a algum valor que vamos identificar a seguir.
Passo 2
Determinar o valor do parâmetro
que corresponde ao ponto dado. Da equação
temos:
Verificação rápida (substituindo
nas outras componentes):
logo de fato
. Portanto o parâmetro do ponto é
.
Passo 3
Montar o vetor posição e explicar como obter a direção tangente. Escrevendo o vetor posição:
O vetor tangente (não unitário) é a derivada em relação a
do vetor posição:
Lembrete da regra usada: para derivar um produto
usa-se a regra do produto
Aplicaremos isso em
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas componentes usando a regra do produto:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Avaliar
em
. Usar
e
:
Portanto o vetor tangente (direção) no ponto é
Passo 6
Escrever as equações paramétricas da reta tangente. A reta tangente em
com direção
é
onde
é o parâmetro da reta. Componentes:
Essas são as equações paramétricas da reta tangente (com parâmetro
).
Passo 7
Calcular o vetor unitário tangente
. A definição é
Primeiro a norma de
:
Portanto o vetor unitário tangente é
Passo 8
Resumo final (já calculado): a reta tangente tem equações paramétricas e o vetor unitário tangente é o acima. Força aí — tá certinho e direto para a prova!