Exercício 3.33. Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva e o vetor unitário tangente T dado pelas equações paramétricas abaixo, no ponto dado:
x=t \cos t, y=3 t, z=t \operatorname{sen} t no ponto $\quad(-\pi, 3 \pi, 0).

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas da curva e pede duas coisas no ponto indicado:
  • Curva: x(t)=t\cos t,\; y(t)=3t,\; z(t)=t\operatorname{sen} t.
  • Ponto pedido: (-\pi,\;3\pi,\;0).
As perguntas que devemos responder:
  1. Encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva nesse ponto.
  2. Encontrar o vetor unitário tangente T no mesmo ponto.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As três coordenadas da curva estão expressas em função do mesmo parâmetro t.
  • O ponto (-\pi,3\pi,0) deve corresponder a algum valor t_0 que vamos identificar a seguir.

Passo 2

Determinar o valor do parâmetro t_0 que corresponde ao ponto dado. Da equação y(t)=3t temos:
y( t_0)=3t_0=3\pi \quad\Rightarrow\quad t_0=\pi.
Verificação rápida (substituindo t_0=\pi nas outras componentes):
x(\pi)=\pi\cos\pi=\pi(-1)=-\pi, \qquad z(\pi)=\pi\operatorname{sen}\pi=\pi\cdot 0=0,
logo de fato (x(\pi),y(\pi),z(\pi))=(-\pi,3\pi,0). Portanto o parâmetro do ponto é t_0=\pi.

Passo 3

Montar o vetor posição e explicar como obter a direção tangente. Escrevendo o vetor posição:
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t),\,z(t)\rangle=\langle t\cos t,\;3t,\;t\operatorname{sen} t\rangle.
O vetor tangente (não unitário) é a derivada em relação a t do vetor posição:
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\langle x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\rangle.
Lembrete da regra usada: para derivar um produto u(t)v(t) usa-se a regra do produto
\frac{d}{dt}\big(u(t)v(t)\big)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Aplicaremos isso em t\cos t e t\operatorname{sen} t.

Passo 4

Calcular as derivadas componentes usando a regra do produto:
  • Para x(t)=t\cos t:
x'(t)=\frac{d}{dt}(t\cos t)=1\cdot\cos t + t\cdot(-\operatorname{sen} t)=\cos t - t\operatorname{sen} t.
  • Para y(t)=3t:
y'(t)=3.
  • Para z(t)=t\operatorname{sen} t:
z'(t)=\frac{d}{dt}(t\operatorname{sen} t)=1\cdot\operatorname{sen} t + t\cdot\cos t=\operatorname{sen} t + t\cos t.

Passo 5

Avaliar \mathbf{r}'(t) em t_0=\pi. Usar \cos\pi=-1 e \operatorname{sen}\pi=0:
x'(\pi)=\cos\pi-\pi\operatorname{sen}\pi=-1- \pi\cdot 0=-1,
y'(\pi)=3,
z'(\pi)=\operatorname{sen}\pi+\pi\cos\pi=0+\pi(-1)=-\pi.
Portanto o vetor tangente (direção) no ponto é
\mathbf{v}=\mathbf{r}'(\pi)=\langle -1,\;3,\;-\pi\rangle.

Passo 6

Escrever as equações paramétricas da reta tangente. A reta tangente em \mathbf{r}(\pi)=(-\pi,3\pi,0) com direção \mathbf{v} é
\mathbf{R}(s)=\mathbf{r}(\pi)+s\,\mathbf{v},
onde s é o parâmetro da reta. Componentes:
x(s)=-\pi + s(-1)=-\pi - s,
y(s)=3\pi + s\cdot 3=3\pi + 3s,
z(s)=0 + s(-\pi)=-\pi s.
Essas são as equações paramétricas da reta tangente (com parâmetro s).

Passo 7

Calcular o vetor unitário tangente T. A definição é
T(\pi)=\frac{\mathbf{r}'(\pi)}{\|\mathbf{r}'(\pi)\|}.
Primeiro a norma de \mathbf{r}'(\pi)=\langle -1,3,-\pi\rangle:
\|\mathbf{r}'(\pi)\|=\sqrt{(-1)^2+3^2+(-\pi)^2}=\sqrt{1+9+\pi^2}=\sqrt{10+\pi^2}.
Portanto o vetor unitário tangente é
T(\pi)=\frac{1}{\sqrt{10+\pi^2}}\langle -1,\;3,\;-\pi\rangle.

Passo 8

Resumo final (já calculado): a reta tangente tem equações paramétricas e o vetor unitário tangente é o acima. Força aí — tá certinho e direto para a prova!

Resposta

x=-\pi - s,\quad y=3\pi+3s,\quad z=-\pi s\n
T(\pi)=\dfrac{1}{\sqrt{10+\pi^2}}\langle -1,\;3,\;-\pi\rangle

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