Exercício 31. Calcule \int_{S} 5 d s, onde S é a parte da superfície |x|+|y|+|z|=1 que está no primeiro e segundo octantes.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \int_{S} 5\,d s, onde S é a parte da superfície |x|+|y|+|z|=1 que está no primeiro e segundo octantes.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A superfície |x|+|y|+|z|=1 é um octaedro (um octaedro regular centrado na origem) com vértices em (\pm1,0,0), (0,\pm1,0) e (0,0,\pm1).
  • O integrando é a função constante 5 sobre a superfície.
  • Vou adotar a convenção usual de octantes: primeiro octante é \{x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0\} e segundo octante é \{x\le0,\;y\ge0,\;z\ge0\}. Portanto a região pedida é a união das duas faces do octaedro que têm y\ge0 e z\ge0 (uma com x\ge0 e outra com x\le0).

Passo 2

Observação geométrica importante (por que isso facilita a integral): como a função é constante ( 5), a integral de superfície é simplesmente 5 vezes a área da parte da superfície S. Ou seja,
\int_{S} 5\,d s = 5\cdot \text{(área de }S).á
Portanto a tarefa reduz-se a calcular a área das duas faces triangulares do octaedro que estão nos primeiro e segundo octantes.

Passo 3

Identificar as faces e seus vértices. A face no primeiro octante é o triângulo com vértices
A=(1,0,0),\quad B=(0,1,0),\quad C=(0,0,1).
A face no segundo octante é o triângulo com vértices
A'=(-1,0,0),\quad B=(0,1,0),\quad C=(0,0,1).
Note que peguei as coordenadas dos vértices diretamente da geometria do octaedro (vértices nas coordenadas unitárias citadas no Passo 1).

Passo 4

Como calcular a área de um triângulo em \mathbb{R}^3 dado por três vértices? Método escolhido (básico e robusto): usar vetores de lado e produto vetorial. Se o triângulo tem vértices A, B, C, defina os vetores \vec{u}=\overrightarrow{AB} e \vec{v}=\overrightarrow{AC}. O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} tem norma igual à área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}; a área do triângulo é metade disso:
\text{área do triângulo }ABC = \tfrac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|.áâ
Explicando palavras-simples: o produto vetorial dá um vetor perpendicular à placa formada por \vec{u} e \vec{v}, e seu comprimento é a base vezes a altura do paralelogramo; dividir por 2 dá a área do triângulo.

Passo 5

Aplicar o método ao triângulo do primeiro octante com A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1).
Calcule os vetores de lado:
\vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,1,0),
\vec{v}=\overrightarrow{AC}=C-A=(-1,0,1).
Calcule o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Fazendo o determinante componente a componente:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot1-0\cdot0)-\mathbf{j}((-1)\cdot1-0\cdot(-1))+\mathbf{k}((-1)\cdot0-1\cdot(-1)).
Calculando cada componente:
\vec{u}\times\vec{v} = \mathbf{i}(1)-\mathbf{j}(-1)+\mathbf{k}(1) = (1,1,1).
A norma desse vetor é
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
Portanto a área do triângulo ABC é
\text{área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.á

Passo 6

A face correspondente no segundo octante (vértices A',B,C) é congruente à anterior por simetria (é só refletir em relação ao plano x=0), logo tem a mesma área:
\text{área}(A'BC)=\frac{\sqrt{3}}{2}.á
A área total da região S (duas faces juntas) é
\text{área}(S)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.á

Passo 7

Voltar à integral: como \int_{S}5\,d s = 5\cdot \text{área}(S)á, temos
\int_{S}5\,d s = 5\cdot \sqrt{3}.

Resposta

5\sqrt{3}

Exercícios relacionados