Exercício 31. Calcule \int_{S} 5 d s, onde S é a parte da superfície |x|+|y|+|z|=1 que está no primeiro e segundo octantes.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular \int_{S} 5\,d s, onde S é a parte da superfície |x|+|y|+|z|=1 que está no primeiro e segundo octantes.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A superfície |x|+|y|+|z|=1 é um octaedro (um octaedro regular centrado na origem) com vértices em (\pm1,0,0), (0,\pm1,0) e (0,0,\pm1).
O integrando é a função constante 5 sobre a superfície.
Vou adotar a convenção usual de octantes: primeiro octante é \{x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0\} e segundo octante é \{x\le0,\;y\ge0,\;z\ge0\}. Portanto a região pedida é a união das duas faces do octaedro que têm y\ge0 e z\ge0 (uma com x\ge0 e outra com x\le0).
Passo 2
Observação geométrica importante (por que isso facilita a integral): como a função é constante (5), a integral de superfície é simplesmente 5 vezes a área da parte da superfície S. Ou seja,
\int_{S} 5\,d s = 5\cdot \text{(área de }S).
Portanto a tarefa reduz-se a calcular a área das duas faces triangulares do octaedro que estão nos primeiro e segundo octantes.
Passo 3
Identificar as faces e seus vértices. A face no primeiro octante é o triângulo com vértices
A=(1,0,0),\quad B=(0,1,0),\quad C=(0,0,1).
A face no segundo octante é o triângulo com vértices
A'=(-1,0,0),\quad B=(0,1,0),\quad C=(0,0,1).
Note que peguei as coordenadas dos vértices diretamente da geometria do octaedro (vértices nas coordenadas unitárias citadas no Passo 1).
Passo 4
Como calcular a área de um triângulo em \mathbb{R}^3 dado por três vértices? Método escolhido (básico e robusto): usar vetores de lado e produto vetorial. Se o triângulo tem vértices A, B, C, defina os vetores \vec{u}=\overrightarrow{AB} e \vec{v}=\overrightarrow{AC}. O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} tem norma igual à área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}; a área do triângulo é metade disso:
\text{área do triângulo }ABC = \tfrac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|.áâ
Explicando palavras-simples: o produto vetorial dá um vetor perpendicular à placa formada por \vec{u} e \vec{v}, e seu comprimento é a base vezes a altura do paralelogramo; dividir por 2 dá a área do triângulo.
Passo 5
Aplicar o método ao triângulo do primeiro octante com A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1).
Calcule os vetores de lado:
\vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,1,0),
\vec{v}=\overrightarrow{AC}=C-A=(-1,0,1).
Calcule o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Fazendo o determinante componente a componente:
A face correspondente no segundo octante (vértices A',B,C) é congruente à anterior por simetria (é só refletir em relação ao plano x=0), logo tem a mesma área: