Exercício 29. Calcule \int_{S}(x y+x z) d s, onde S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+z=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq\right. 0\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} (x y + x z)\, d s,
onde a superfície S é o triângulo do plano definido por
x+y+z=1,\qquad x\ge 0,\; y\ge 0,\; z\ge 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície S está no plano \;x+y+z=1\; e limitada ao primeiro octante, portanto é o triângulo com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
  • A função a integrar sobre S é x y + x z.
  • Precisamos calcular a integral de uma função escalar sobre uma superfície plana: isto implica escolher uma parametrização ou projetar para um plano coordenado para transformar a integral de superfície numa integral dupla sobre uma região plana.

Passo 2

Escolha do método: vamos escrever o plano como gráfico de z=f(x,y) e projetar S sobre o plano xy. Isso é natural porque a equação do plano pode ser resolvida para z de maneira direta e a região projetada no plano xy é um triângulo simples ( x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1). Em problemas assim, projetar para o plano coordenado e usar a fórmula do elemento de área d s para gráficos é o caminho mais direto e usa ferramentas básicas que você certamente consegue aplicar na prova.

Passo 3

Fórmula que vamos usar e por quê. Se uma superfície é dada como gráfico
z = f(x,y),
então o elemento de superfície é
d s = \sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\; dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy, e \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f. Intuição curta: um pequeno retângulo no plano xy de área dA é levado pela superfície a um paralelogramo cuja área é multiplicada pelo fator \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}, que é a norma do vetor normal do plano tangente.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: da equação do plano temos
z = f(x,y) = 1 - x - y.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = -1,\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -1.
Logo
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} = \sqrt{1+(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{3}.
Portanto d s = \sqrt{3}\, dA.

Passo 5

Substituímos z na função a integrar. A integranda é x y + x z. Usando z=1-x-y:
x y + x z = x y + x(1-x-y).
Fazendo as contas termo a termo:
x y + x(1-x-y) = x y + x - x^{2} - x y = x - x^{2}.
Ou seja, a parte em y em x y cancela; a integranda simplifica muito bem para x - x^{2}, que não depende de y.

Passo 6

Montando a integral dupla sobre a região projetada D no plano xy. A região D é o triângulo
D = \{(x,y)\mid x\ge0,\; y\ge0,\; x+y\le1\}.
A integral de superfície vira
\iint_{S} (x y + x z)\, d s = \iint_{D} (x - x^{2})\; \sqrt{3}\; dA.
Escrevendo em limites iterados (integrando primeiro em y de 0 a 1-x, depois em x de 0 a 1):
\iint_{S} (x y + x z)\, d s = \sqrt{3}\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} (x - x^{2})\, dy\, dx.

Passo 7

Calcule a integral interna em y. Como x - x^{2} não depende de y, ao integrar em y sobre [0,1-x] multiplicamos por o comprimento 1-x:
\int_{y=0}^{1-x} (x - x^{2})\, dy = (x - x^{2})(1-x).
Multiplicando pelo \sqrt{3}, a integral reduz a
\sqrt{3}\int_{0}^{1} (x - x^{2})(1-x)\, dx.
Expanda o integrando para facilitar a integração:
(x - x^{2})(1-x) = x - 2x^{2} + x^{3}.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{1} x\, dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2},
\int_{0}^{1} 2x^{2}\, dx = 2\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{2}{3},
\int_{0}^{1} x^{3}\, dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Somando com os sinais correspondentes:
\int_{0}^{1} \bigl(x - 2x^{2} + x^{3}\bigr)\, dx = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}.
Faça a soma com denominador comum 12:
\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6}{12} - \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{12}.

Passo 8

Multiplicando pelo fator \sqrt{3} que saiu do elemento de superfície, obtemos o resultado final:
\iint_{S} (x y + x z)\, d s = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{12} = \frac{\sqrt{3}}{12}.
Você quase terminou: é um processo padrão — expressar z, calcular d s, substituir, projetar e integrar. Dá para fazer isso rápido na prova se praticar um pouco!

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{12}

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