Exercício 29. Calcule \int_{S}(x y+x z) d s, onde S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+z=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq\right. 0\}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} (x y + x z)\, d s,
onde a superfície S é o triângulo do plano definido por
x+y+z=1,\qquad x\ge 0,\; y\ge 0,\; z\ge 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A superfície S está no plano \;x+y+z=1\; e limitada ao primeiro octante, portanto é o triângulo com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
A função a integrar sobre S é x y + x z.
Precisamos calcular a integral de uma função escalar sobre uma superfície plana: isto implica escolher uma parametrização ou projetar para um plano coordenado para transformar a integral de superfície numa integral dupla sobre uma região plana.
Passo 2
Escolha do método: vamos escrever o plano como gráfico de z=f(x,y) e projetar S sobre o plano xy. Isso é natural porque a equação do plano pode ser resolvida para z de maneira direta e a região projetada no plano xy é um triângulo simples (x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1). Em problemas assim, projetar para o plano coordenado e usar a fórmula do elemento de área d s para gráficos é o caminho mais direto e usa ferramentas básicas que você certamente consegue aplicar na prova.
Passo 3
Fórmula que vamos usar e por quê. Se uma superfície é dada como gráfico
z = f(x,y),
então o elemento de superfície é
d s = \sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\; dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy, e \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f. Intuição curta: um pequeno retângulo no plano xy de área dA é levado pela superfície a um paralelogramo cuja área é multiplicada pelo fator \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}, que é a norma do vetor normal do plano tangente.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: da equação do plano temos
Multiplicando pelo fator \sqrt{3} que saiu do elemento de superfície, obtemos o resultado final:
\iint_{S} (x y + x z)\, d s = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{12} = \frac{\sqrt{3}}{12}.
Você quase terminou: é um processo padrão — expressar z, calcular d s, substituir, projetar e integrar. Dá para fazer isso rápido na prova se praticar um pouco!