Calcule
, onde
Exercício 44.
e
é parte do plano
com
, com vetor normal
apontando na direção do vetor (
).
Exercício 44.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de superfície
onde está dado
e
é a parte do plano
(isto é, o plano
) definida pelos intervalos
e
. Também nos informam que o vetor normal
deve apontar na direção do vetor
.
Informações relevantes dadas:
e a orientação (direção) do normal é a mesma de
.
Passo 2
Entendendo a definição e a estratégia (passo-a-passo didático):
Quando queremos calcular a integral de fluxo
de um campo vetorial
através de uma superfície orientada
, uma maneira padrão — que funciona bem aqui porque
é um pedaço de plano simples — é parametrizar
e usar o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização.
- Parametrizamos a superfície por uma função
que dá as coordenadas em função de parâmetros . - As derivadas parciais
e são vetores tangentes à superfície. - O produto vetorial
é um vetor perpendicular à superfície cujo comprimento mede a área infinitesimal projetada; esse vetor já carrega a orientação (direção) dada pela ordem . - A fórmula prática que usamos é
desde que
esteja apontando na mesma direção especificada para o normal; caso contrário, aparece um sinal negativo.
Aqui cada símbolo significa:
-
: parametrização da superfície. -
: derivadas parciais de em relação a e . -
: domínio dos parâmetros . -
: campo avaliado na superfície. - O produto escalar
dá a contribuição infinitesimal de fluxo.
Passo 3
Parametrização e cálculo das derivadas:
Como
é o quadrado no plano
com
, uma parametrização natural é usar os próprios
e
como parâmetros. Definimos
com domínio dos parâmetros
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Produto vetorial
e orientação:
Agora o produto vetorial:
Calculando componente a componente (regra do determinante), obtemos
Observe que esse vetor é exatamente
, ou seja, aponta na mesma direção do normal pedido pelo enunciado. Portanto a orientação da parametrização está correta e não precisamos trocar o sinal.
Além disso,
, então a área infinitesimal é simplesmente
.
Passo 5
Avaliação da integranda
:
Avaliamo
na superfície: como
é constante e igual a
em todo ponto,
Então
Logo a integral de fluxo reduz-se a integrar a função constante
sobre o domínio
:
Passo 6
Cálculo final da integral dupla sobre o domínio
:
O domínio
é o retângulo
. Assim
Integramos primeiro em
:
Agora integramos em
:
Resposta
4