Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde
Exercício 44. F(x, y, z)=(1,0,0) e S é parte do plano y z com -1 \leq y \leq 1,-1 \leq z \leq 1, com vetor normal n apontando na direção do vetor ( 1,0,0 ).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de superfície
\iint_{S} (F\cdot n)\,dS,
onde está dado F(x,y,z)=(1,0,0) e S é a parte do plano y z (isto é, o plano x=0) definida pelos intervalos -1\le y\le 1 e -1\le z\le 1. Também nos informam que o vetor normal n deve apontar na direção do vetor (1,0,0).
Informações relevantes dadas:
F(x,y,z)=(1,0,0),
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x=0,\\\ -1\le y\le 1,\\\ -1\le z\le 1\},
e a orientação (direção) do normal é a mesma de (1,0,0).

Passo 2

Entendendo a definição e a estratégia (passo-a-passo didático):
Quando queremos calcular a integral de fluxo \iint_{S} (F\cdot n)\,dS de um campo vetorial F através de uma superfície orientada S, uma maneira padrão — que funciona bem aqui porque S é um pedaço de plano simples — é parametrizar S e usar o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização.
  • Parametrizamos a superfície por uma função \mathbf{r}(u,v) que dá as coordenadas (x,y,z) em função de parâmetros (u,v).
  • As derivadas parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são vetores tangentes à superfície.
  • O produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v é um vetor perpendicular à superfície cujo comprimento \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\| mede a área infinitesimal projetada; esse vetor já carrega a orientação (direção) dada pela ordem u,v.
  • A fórmula prática que usamos é
\iint_{S} (F\cdot n)\,dS = \iint_{D} F(\mathbf{r}(u,v))\cdot\bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr)\,du\,dv,
desde que \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v esteja apontando na mesma direção especificada para o normal; caso contrário, aparece um sinal negativo.
Aqui cada símbolo significa:
  • \mathbf{r}(u,v): parametrização da superfície.
  • \mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v: derivadas parciais de \mathbf{r} em relação a u e v.
  • D: domínio dos parâmetros (u,v).
  • F(\mathbf{r}(u,v)): campo avaliado na superfície.
  • O produto escalar F\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v) dá a contribuição infinitesimal de fluxo.

Passo 3

Parametrização e cálculo das derivadas:
Como S é o quadrado no plano x=0 com -1\le y\le 1,\\\ -1\le z\le 1, uma parametrização natural é usar os próprios y e z como parâmetros. Definimos
\mathbf{r}(y,z) = (0,y,z),
com domínio dos parâmetros
D = \{(y,z)\mid -1\le y\le 1,\\\ -1\le z\le 1\}.
Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_y = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial y} = (0,1,0), \qquad \mathbf{r}_z = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z} = (0,0,1).

Passo 4

Produto vetorial \mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_z e orientação:
Agora o produto vetorial:
\mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_z = (0,1,0)\times(0,0,1).
Calculando componente a componente (regra do determinante), obtemos
\mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_z = (1,0,0).
Observe que esse vetor é exatamente (1,0,0), ou seja, aponta na mesma direção do normal pedido pelo enunciado. Portanto a orientação da parametrização está correta e não precisamos trocar o sinal.
Além disso, \|\mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_z\|=1, então a área infinitesimal é simplesmente dS = dy\,dz.

Passo 5

Avaliação da integranda F\cdot(\mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_z):
Avaliamo F na superfície: como F é constante e igual a (1,0,0) em todo ponto,
F(\mathbf{r}(y,z)) = (1,0,0).
Então
F(\mathbf{r}(y,z))\cdot\bigl(\mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_z\bigr) = (1,0,0)\cdot(1,0,0)=1.
Logo a integral de fluxo reduz-se a integrar a função constante 1 sobre o domínio D:
\iint_{S} (F\cdot n)\,dS = \iint_{D} 1\,dy\,dz.

Passo 6

Cálculo final da integral dupla sobre o domínio D:
O domínio D é o retângulo -1\le y\le 1,\\\ -1\le z\le 1. Assim
\iint_{D} 1\,dy\,dz = \int_{y=-1}^{1}\int_{z=-1}^{1} 1\,dz\,dy.
Integramos primeiro em z:
\int_{z=-1}^{1} 1\,dz = \bigl[z\bigr]_{-1}^{1} = 1-(-1)=2.
Agora integramos em y:
\int_{y=-1}^{1} 2\,dy = 2\cdot\bigl[y\bigr]_{-1}^{1} = 2\cdot(1-(-1))=2\cdot 2=4.

Resposta

4

Exercícios relacionados