Exercício 33. Calcule \int_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s, onde S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}=1,0 \leq z \leq b\right\}. (Dica:

Passo 1

O que o problema pede: calcular \displaystyle \int_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,d s, onde S é o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^{2}+y^{2}=1,\;0\le z\le b\}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A superfície S é a superfície lateral de um cilindro reto de raio 1 e altura b.
  • O integrando é \,x^{2}+y^{2}.
  • Não há outras restrições; assumimos b\ge 0.
    A partir daqui vamos parametrizar a superfície e usar a definição de integral de superfície para funções escalares.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar parametrização da superfície porque S é a superfície lateral de um cilindro — isso é o método mais direto e elementar.
Lembrete da fórmula que vamos usar (a “aula rápida”): se uma superfície S é dada por uma parametrização \mathbf{r}(u,v) definida num domínio D dos parâmetros, então a integral de uma função escalar f sobre S é
\iint_{S} f\,dS = \iint_{D} f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\,\big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\|\,du\,dv.
Aqui \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais de \mathbf{r} em relação aos parâmetros u e v, e \|\cdot\| é a norma vetorial (magnitude). Essa fórmula é fundamental: ela transforma a integral sobre a superfície em uma integral dupla no domínio dos parâmetros.

Passo 3

Parametrização de S: para o cilindro de raio 1 é natural usar o parâmetro angular \theta e a altura z. Escolhemos
\mathbf{r}(\theta,z)=\big(\cos\theta,\;\sin\theta,\;z\big),
com domínio dos parâmetros
0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le z\le b.
Explicação: \theta percorre toda a circunferência de raio 1 no plano xy e z vai de 0 a b, então essa \mathbf{r} cobre exatamente a superfície lateral pedida.

Passo 4

Calcule as derivadas parciais da parametrização:
\mathbf{r}_\theta(\theta,z)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}=(-\sin\theta,\;\cos\theta,\;0),
\mathbf{r}_z(\theta,z)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}=(0,\;0,\;1).
Explanação: \mathbf{r}_\theta mostra como a posição muda ao girar em \theta; \mathbf{r}_z mostra a variação ao subir em z.

Passo 5

Calcule o produto vetorial \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z e a sua magnitude (isso dá o elemento de área \,dS em termos de d\theta\,dz). Usamos o determinante das componentes:
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;0).
Agora a magnitude:
\big\|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\big\| = \sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta} =1.
Comentário didático: o resultado faz sentido porque para um cilindro de raio 1 o comprimento do vetor tangente ao círculo é 1 e a direção em z tem comprimento 1; geometricamente o elemento de área lateral infinitesimal é 1\cdot d\theta\cdot dz neste parametrização.

Passo 6

Avalie o integrando na parametrização: para \mathbf{r}(\theta,z) temos
x^{2}+y^{2}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Portanto, pela fórmula de integrale de superfície,
\iint_{S} (x^{2}+y^{2})\,dS = \int_{z=0}^{b}\int_{\theta=0}^{2\pi} \big(1\big)\cdot\big\|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\big\|\,d\theta\,dz = \int_{0}^{b}\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta\,dz.

Passo 7

Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{b}\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta\,dz = \int_{0}^{b}\bigg(\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta\bigg)dz = \int_{0}^{b} (2\pi)\,dz = 2\pi b.
Interpretacão simples: como x^{2}+y^{2}=1 na superfície, a integral é simplesmente o valor 1 vezes a área lateral do cilindro, e a área lateral é circunferência 2\pi\cdot 1 vezes altura b.

Passo 8

Pequeno exemplo extra para fixar a ideia: se o raio fosse a>0 (isto é, x^{2}+y^{2}=a^{2}), parametrizando por \mathbf{r}(\theta,z)=(a\cos\theta,a\sin\theta,z) obteríamos \|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\|=a e x^{2}+y^{2}=a^{2}, então
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS = \int_{0}^{b}\int_{0}^{2\pi} a^{2}\cdot a\,d\theta\,dz = 2\pi a^{3} b.
Isso ajuda a ver como o raio entra na conta.

Resposta

\;2\pi b

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