Exercício 33. Calcule \int_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s, onde S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}=1,0 \leq z \leq b\right\}. (Dica:
Passo 1
O que o problema pede: calcular \displaystyle \int_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,d s, onde S é o conjunto
A superfície S é a superfície lateral de um cilindro reto de raio 1 e altura b.
O integrando é \,x^{2}+y^{2}.
Não há outras restrições; assumimos b\ge 0.
A partir daqui vamos parametrizar a superfície e usar a definição de integral de superfície para funções escalares.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar parametrização da superfície porque S é a superfície lateral de um cilindro — isso é o método mais direto e elementar.
Lembrete da fórmula que vamos usar (a “aula rápida”): se uma superfície S é dada por uma parametrização \mathbf{r}(u,v) definida num domínio D dos parâmetros, então a integral de uma função escalar f sobre S é
Aqui \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais de \mathbf{r} em relação aos parâmetros u e v, e \|\cdot\| é a norma vetorial (magnitude). Essa fórmula é fundamental: ela transforma a integral sobre a superfície em uma integral dupla no domínio dos parâmetros.
Passo 3
Parametrização de S: para o cilindro de raio 1 é natural usar o parâmetro angular \theta e a altura z. Escolhemos
Explicação: \theta percorre toda a circunferência de raio 1 no plano xy e z vai de 0 a b, então essa \mathbf{r} cobre exatamente a superfície lateral pedida.
Explanação: \mathbf{r}_\theta mostra como a posição muda ao girar em \theta; \mathbf{r}_z mostra a variação ao subir em z.
Passo 5
Calcule o produto vetorial \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z e a sua magnitude (isso dá o elemento de área \,dS em termos de d\theta\,dz). Usamos o determinante das componentes:
Comentário didático: o resultado faz sentido porque para um cilindro de raio 1 o comprimento do vetor tangente ao círculo é 1 e a direção em z tem comprimento 1; geometricamente o elemento de área lateral infinitesimal é 1\cdot d\theta\cdot dz neste parametrização.
Passo 6
Avalie o integrando na parametrização: para \mathbf{r}(\theta,z) temos
x^{2}+y^{2}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Portanto, pela fórmula de integrale de superfície,
Interpretacão simples: como x^{2}+y^{2}=1 na superfície, a integral é simplesmente o valor 1 vezes a área lateral do cilindro, e a área lateral é circunferência 2\pi\cdot 1 vezes altura b.
Passo 8
Pequeno exemplo extra para fixar a ideia: se o raio fosse a>0 (isto é, x^{2}+y^{2}=a^{2}), parametrizando por \mathbf{r}(\theta,z)=(a\cos\theta,a\sin\theta,z) obteríamos \|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\|=a e x^{2}+y^{2}=a^{2}, então
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS = \int_{0}^{b}\int_{0}^{2\pi} a^{2}\cdot a\,d\theta\,dz = 2\pi a^{3} b.