Exercício 1.9:

Sejam a, b \in \mathbb{Z}. Prove que $(-a)(-b)=a b.

Passo 1

O enunciado dá que a,b\in\mathbb{Z} (são inteiros) e pede para provar que
(-a)(-b)=ab.
Informações relevantes fornecidas: os símbolos -a e -b significam os inversos aditivos de a e b, ou seja, \,a+(-a)=0 e b+(-b)=0. Não há outras restrições; a meta é demonstrar a igualdade acima usando propriedades básicas dos inteiros.

Passo 2

Vamos lembrar e usar propriedades básicas dos inteiros (sem assumir nada impossível):
  • Existe 0 tal que, para todo x, x+0=x.
  • Existe 1 tal que, para todo x, 1\cdot x=x.
  • Para todo x existe um único inverso aditivo -x tal que x+(-x)=0.
  • A multiplicação é distributiva sobre a adição: (u+v)w = uw + vw.
  • 0 multiplicado por qualquer inteiro vale 0; vamos provar isso em seguida porque vamos precisar.
Agora provamos uma identidade útil: para todo inteiro x vale (-1)\,x = -x. Isso significa que multiplicar por -1 dá o inverso aditivo.

Passo 3

Provar que (-1)x=-x para todo x\in\mathbb{Z}.
Aplicando distributividade a (1+(-1))x obtemos:
(1+(-1))x = 1\cdot x + (-1)\cdot x.
Mas 1+(-1)=0, logo o lado esquerdo é 0\cdot x. Assim
0\cdot x = x + (-1)\cdot x.
Agora provamos que 0\cdot x = 0. De fato, como 0=0+0, pela distributividade
0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x.
Subtraindo 0\cdot x dos dois lados (ou usando unicidade do elemento que somado a outro dá o mesmo resultado) obtemos 0\cdot x = 0. Então da igualdade anterior segue
0 = x + (-1)\cdot x.
Isso mostra que (-1)\cdot x é o inverso aditivo de x. Pelo fato do inverso aditivo ser único, concluímos
(-1)\cdot x = -x.

Passo 4

Usando o resultado do passo anterior, escrevemos -a = (-1)a e -b = (-1)b. Então
(-a)(-b) = \big((-1)a\big)\big((-1)b\big).
Agrupando fatores pelo associativa e comutatividade da multiplicação:
\big((-1)a\big)\big((-1)b\big) = \big((-1)(-1)\big)\,(ab).
Portanto basta mostrar que (-1)(-1)=1.

Passo 5

Mostrar que (-1)(-1)=1.
Calcule
(-1)(-1) + (-1) = (-1)\big((-1)+1\big)
pela distributividade. Mas (-1)+1 = 0, então
(-1)\big((-1)+1\big) = (-1)\cdot 0.
Pelo argumento do passo 3 (válido para qualquer inteiro), 0 multiplicado por qualquer inteiro é 0, logo (-1)\cdot 0 = 0. Assim
(-1)(-1) + (-1) = 0.
Isso mostra que (-1)(-1) é um elemento que somado a -1 0; ou seja, é o inverso aditivo de -1. Mas o inverso aditivo de -1 é 1 porque 1+(-1)=0. Pela unicidade do inverso aditivo segue
(-1)(-1)=1.

Passo 6

Voltando à expressão do passo 4 e substituindo (-1)(-1)=1, obtemos
(-a)(-b) = \big((-1)(-1)\big)\,(ab) = 1\cdot (ab) = ab,
onde usamos 1\cdot (ab)=ab. Assim a igualdade desejada está provada. (Exemplo numérico: para a=3,b=4 temos (-3)(-4)=12=3\cdot4.)

Resposta

(-a)(-b)=ab

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