Exercício 1.9:
Sejam
. Prove que $(-a)(-b)=a b.
Passo 1
O enunciado dá que
(são inteiros) e pede para provar que
Informações relevantes fornecidas: os símbolos
e
significam os inversos aditivos de
e
, ou seja,
e
. Não há outras restrições; a meta é demonstrar a igualdade acima usando propriedades básicas dos inteiros.
Passo 2
Vamos lembrar e usar propriedades básicas dos inteiros (sem assumir nada impossível):
- Existe
tal que, para todo , . - Existe
tal que, para todo , . - Para todo
existe um único inverso aditivo tal que . - A multiplicação é distributiva sobre a adição:
. -
multiplicado por qualquer inteiro vale ; vamos provar isso em seguida porque vamos precisar.
Agora provamos uma identidade útil: para todo inteiro
vale
. Isso significa que multiplicar por
dá o inverso aditivo.
Passo 3
Provar que
para todo
.
Aplicando distributividade a
obtemos:
Mas
, logo o lado esquerdo é
. Assim
Agora provamos que
. De fato, como
, pela distributividade
Subtraindo
dos dois lados (ou usando unicidade do elemento que somado a outro dá o mesmo resultado) obtemos
. Então da igualdade anterior segue
Isso mostra que
é o inverso aditivo de
. Pelo fato do inverso aditivo ser único, concluímos
Passo 4
Usando o resultado do passo anterior, escrevemos
e
. Então
Agrupando fatores pelo associativa e comutatividade da multiplicação:
Portanto basta mostrar que
.
Passo 5
Mostrar que
.
Calcule
pela distributividade. Mas
, então
Pelo argumento do passo 3 (válido para qualquer inteiro),
multiplicado por qualquer inteiro é
, logo
. Assim
Isso mostra que
é um elemento que somado a
dá
; ou seja, é o inverso aditivo de
. Mas o inverso aditivo de
é
porque
. Pela unicidade do inverso aditivo segue
Passo 6
Voltando à expressão do passo 4 e substituindo
, obtemos
onde usamos
. Assim a igualdade desejada está provada. (Exemplo numérico: para
temos
.)