Exercício 32 Considere o subespaço vetorial S=\left\{p(x) \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}): p(1)=0\right\} do espaço vetorial \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Determine uma base para S.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
S=\{p(x)\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) : p(1)=0\}.
Pergunta: determinar uma base para S.\
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) }p(x)\text{ é um polinômio de grau no máximo }2,\qquad \text{(ii) }p(1)=0\text{ é a condição que define }S.éôáéçã

Passo 2

Vamos escrever um polinômio genérico de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Sea
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c\in\mathbb{R}. Aqui a é o coeficiente do termo x^{2}, b do termo x e c do termo constante.

Passo 3

Aplicamos a condição p(1)=0. Substituindo x=1 em p(x) obtemos:
p(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1+c=a+b+c=0.
Logo os coeficientes a,b,c satisfazem a equação linear
a+b+c=0.

Passo 4

Da equação a+b+c=0 isolamos c:
c=-a-b.
Substituímos esse c em p(x):
p(x)=ax^{2}+bx+(-a-b)=ax^{2}+bx-a-b.

Passo 5

Agrupando termos para decompor p(x) em combinações lineares:
p(x)=ax^{2}-a+bx-b=a(x^{2}-1)+b(x-1).
Portanto qualquer p\in S pode ser escrito como combinação linear de x^{2}-1 e x-1. Isso mostra que
S\subseteq\operatorname{span}\{\,x^{2}-1,\;x-1\,\}.
Como todo polinômio da forma a(x^{2}-1)+b(x-1) satisfaz p(1)=0, temos também
\operatorname{span}\{\,x^{2}-1,\;x-1\,\}\subseteq S.
Logo
S=\operatorname{span}\{\,x^{2}-1,\;x-1\,\}.

Passo 6

Agora provamos que \{\,x^{2}-1,\;x-1\,\} é linearmente independente. Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha(x^{2}-1)+\beta(x-1)=0
(sempre aqui 0 denota o polinômio nulo). Desenvolvendo,
\alpha x^{2}+\beta x+(-\alpha-\beta)=0.
Do polinômio nulo sabemos que todos os coeficientes devem ser zero. Assim:
\alpha=0,\qquad \beta=0,\qquad -\alpha-\beta=0.
As duas primeiras igualdades já dão \alpha=0 e \beta=0, portanto os vetores (polinômios) são linearmente independentes.

Passo 7

Como \{\,x^{2}-1,\;x-1\,\} gera S (Passo 5) e é linearmente independente (Passo 6), é uma base de S. Daí também segue que \dim(S)=2. Um exemplo concreto: para a=2, b=3 obtemos
p(x)=2(x^{2}-1)+3(x-1),
que satisfaz p(1)=0, ilustrando a escrita de qualquer elemento de S nessa base.

Resposta

\{\,x^{2}-1,\;x-1\,\}

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