Exercício 32 Considere o subespaço vetorial
do espaço vetorial
. Determine uma base para
.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
Pergunta: determinar uma base para
.\
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos escrever um polinômio genérico de
. Sea
onde
. Aqui
é o coeficiente do termo
,
do termo
e
do termo constante.
Passo 3
Aplicamos a condição
. Substituindo
em
obtemos:
Logo os coeficientes
satisfazem a equação linear
Passo 4
Da equação
isolamos
:
Substituímos esse
em
:
Passo 5
Agrupando termos para decompor
em combinações lineares:
Portanto qualquer
pode ser escrito como combinação linear de
e
. Isso mostra que
Como todo polinômio da forma
satisfaz
, temos também
Logo
Passo 6
Agora provamos que
é linearmente independente. Suponha que existam
tais que
(sempre aqui
denota o polinômio nulo). Desenvolvendo,
Do polinômio nulo sabemos que todos os coeficientes devem ser zero. Assim:
As duas primeiras igualdades já dão
e
, portanto os vetores (polinômios) são linearmente independentes.
Passo 7
Como
gera
(Passo 5) e é linearmente independente (Passo 6), é uma base de
. Daí também segue que
. Um exemplo concreto: para
,
obtemos
que satisfaz
, ilustrando a escrita de qualquer elemento de
nessa base.