Determine q(x) e r(x) tais que:
f(x)=q(x) \cdot g(x)+r(x)
onde r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x) e f(x), g(x) \in \mathbb{R}[x].
f(x)=x^{n}-1, g(x)=x-1 ; n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar polinômios q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x)\cdot g(x)+r(x)
com a condição de que r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x). As informações dadas são:
f(x)=x^{n}-1,\quad g(x)=x-1,\quad n\in\mathbb{N}.
Logo, preciso encontrar explicitamente q(x) e r(x) que satisfaçam essa divisão polinomial para todo n natural.

Passo 2

Primeiro, trato do caso especial \,n=0. Aqui
f(x)=x^{0}-1=1-1=0,
o polinômio nulo. Dividindo o polinômio zero por qualquer polinômio não-nulo, o quociente é o polinômio zero e o resto também é o polinômio zero. Assim, para \,n=0,
q(x)=0,\qquad r(x)=0.
A partir de agora considero \,n\ge 1.

Passo 3

Vou propor um candidato razoável para q(x) baseado em uma soma geométrica finita. Defino
S(x)=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1} x^{k}.
A ideia (intuitiva) é que a soma acima é a expressão que aparece quando dividimos potências por x-1 — mas vou demonstrar isso rigidamente multiplicando por x-1.

Passo 4

Calculo (x-1)S(x) e mostro que dá x^{n}-1. Primeiro escrevo:
(x-1)S(x)=x\sum_{k=0}^{n-1} x^{k}-\sum_{k=0}^{n-1} x^{k}=\sum_{k=0}^{n-1} x^{k+1}-\sum_{k=0}^{n-1} x^{k}.
Agora escrevo os dois somatórios alinhados para ver o cancelamento (telescopia):
\sum_{k=0}^{n-1} x^{k+1}=x^{1}+x^{2}+\cdots+x^{n},
\sum_{k=0}^{n-1} x^{k}=1+x^{1}+x^{2}+\cdots+x^{n-1}.
Subtraindo termo a termo, todos os termos intermediários x^{1},x^{2},\ldots,x^{n-1} se anulam, restando apenas
(x-1)S(x)=x^{n}-1.
Portanto, com q(x)=S(x) obtemos exatamente f(x)=(x-1)q(x).

Passo 5

Da conta anterior concluímos que, para todo n\ge 1,
x^{n}-1=(x-1)\bigl(1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}\bigr)+0.
Assim o resto é o polinômio nulo r(x)=0, que satisfaz a condição exigida (r = 0 é permitido). Para recapitular: para n\ge 1 temos q(x)=1+x+\cdots+x^{n-1} e r(x)=0; para n=0 temos q(x)=0 e r(x)=0. Vou dar dois exemplos numéricos rápidos só para fixar: se n=1 então x^{1}-1=(x-1)\cdot 1+0; se n=2 então x^{2}-1=(x-1)(1+x)+0.

Resposta

q(x)=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}\n r(x)=0

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