Determine
e
tais que:
onde
ou
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar polinômios
e
tais que
com a condição de que
ou
. As informações dadas são:
Logo, preciso encontrar explicitamente
e
que satisfaçam essa divisão polinomial para todo
natural.
Passo 2
Primeiro, trato do caso especial
. Aqui
o polinômio nulo. Dividindo o polinômio zero por qualquer polinômio não-nulo, o quociente é o polinômio zero e o resto também é o polinômio zero. Assim, para
,
A partir de agora considero
.
Passo 3
Vou propor um candidato razoável para
baseado em uma soma geométrica finita. Defino
A ideia (intuitiva) é que a soma acima é a expressão que aparece quando dividimos potências por
— mas vou demonstrar isso rigidamente multiplicando por
.
Passo 4
Calculo
e mostro que dá
. Primeiro escrevo:
Agora escrevo os dois somatórios alinhados para ver o cancelamento (telescopia):
Subtraindo termo a termo, todos os termos intermediários
se anulam, restando apenas
Portanto, com
obtemos exatamente
.
Passo 5
Da conta anterior concluímos que, para todo
,
Assim o resto é o polinômio nulo
, que satisfaz a condição exigida (r = 0 é permitido). Para recapitular: para
temos
e
; para
temos
e
. Vou dar dois exemplos numéricos rápidos só para fixar: se
então
; se
então
.